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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Aire entre une parabole et une droite

On se place dans un repère orthogonal $(O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath)$ . L'unité d'aire (u.a.) est l'aire d'un carreau du quadrillage, c'est-à-dire d'un rectangle de côtés $1$ en abscisse et $1$ en ordonnée. On considère la parabole $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f : x\mapsto-x^2+4x$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$ .

Parabole y=-x²+4x et droite y=x entre 0 et 3, région comprise coloriée.

Lire les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$ , puis les vérifier par le calcul.
Quelle courbe est au-dessus de l'autre sur $[0\,;\,3]$ ?
Exprimer l'aire $\mathcal{A}$ (en u.a.) de la partie colorée comme une intégrale.
Calculer $\mathcal{A}$ .
Vérifier que l'ordre de grandeur est cohérent avec le quadrillage (compter les carreaux).

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Corrigé — Aire entre une parabole et une droite

Graphiquement : $O(0\,;\,0)$ et $A(3\,;\,3)$ . Calcul : $-x^2+4x=x\iff x(3-x)=0\iff x=0$ ou $x=3$ ✓.
$f(x)-x=x(3-x)\geq0$ sur $[0\,;\,3]$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{D}$ .
$\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^3\left(f(x)-x\right)dx=\int_0^3\left(-x^2+3x\right)dx$ .
Primitive : $-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}$ . $\mathcal{A}=\left(-9+\dfrac{27}{2}\right)-0=\dfrac92=4{,}5$ u.a.
La région est contenue dans le rectangle $[0;3]\times[0;4]$ (aire $12$ ) et occupe environ la moitié de l'aire du triangle $O$ - $A$ -sommet : on compte environ $4$ à $5$ carreaux, ce qui est cohérent avec $4{,}5$ .