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Valeur moyenne lue sur un graphique

On se place dans un repère orthogonal $(O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath)$ . L'unité d'aire (u.a.) est l'aire d'un carreau du quadrillage, c'est-à-dire d'un rectangle de côtés $1$ en abscisse et $1$ en ordonnée. La courbe $\mathcal{C}_f$ est la représentation d'une fonction $f$ affine par morceaux sur $[0\,;\,4]$ (sommets en $(0\,;\,0)$ , $(1\,;\,2)$ , $(3\,;\,2)$ , $(4\,;\,0)$ ).

Trapèze isocèle : courbe affine par morceaux de sommets (0;0), (1;2), (3;2), (4;0).

Calculer $\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx$ et $\displaystyle\int_3^4f(x)\,dx$ (triangles).
Calculer $\displaystyle\int_1^3f(x)\,dx$ (rectangle).
En déduire $\displaystyle\int_0^4f(x)\,dx$ et la valeur moyenne $m$ de $f$ sur $[0\,;\,4]$ .
Lire graphiquement (ou calculer) les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)=m$ .

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Corrigé — Valeur moyenne lue sur un graphique

Chaque triangle a pour base $1$ et pour hauteur $2$ : aire $\dfrac{1\times2}{2}=1$ . Donc les deux intégrales valent $1$ .
Rectangle de largeur $2$ et de hauteur $2$ : $4$ .
$\displaystyle\int_0^4f=1+4+1=6$ et $m=\dfrac{6}{4}=1{,}5$ .
$f(x)=1{,}5$ : sur $[0;1]$ , $2x=1{,}5\iff x=0{,}75$ ; sur $[3;4]$ , $8-2x=1{,}5\iff x=3{,}25$ . (Résultat du théorème de la moyenne : il existe des $c$ avec $f(c)=m$ .)