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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Intégrale et aire d'un demi-disque

On se place dans un repère orthogonal $(O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath)$ . L'unité d'aire (u.a.) est l'aire d'un carreau du quadrillage, c'est-à-dire d'un rectangle de côtés $1$ en abscisse et $1$ en ordonnée. La courbe $\mathcal{C}_f$ est un demi-cercle de centre $O$ et de rayon $2$ : c'est la courbe de $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ sur $[-2\,;\,2]$ (les unités sont identiques sur les deux axes).

Demi-cercle de rayon 2 centré à l'origine, au-dessus de l'axe des abscisses, intérieur coloré.

Quelle est l'aire du demi-disque coloré ? Donner la valeur exacte.
En déduire $\displaystyle\int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}\,dx$ .
Calculer $\displaystyle\int_0^2\sqrt{4-x^2}\,dx$ en justifiant par la symétrie de la courbe.
Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[-2\,;\,2]$ (valeur exacte puis arrondie au centième).

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Corrigé — Intégrale et aire d'un demi-disque

Disque de rayon $2$ : $\pi\times2^2=4\pi$ ; demi-disque : $2\pi$ u.a.
$f\geq0$ donc l'intégrale est égale à l'aire : $2\pi\approx6{,}28$ .
$f$ est paire : les aires à gauche et à droite de l'axe des ordonnées sont égales. Donc $\displaystyle\int_0^2f=\dfrac12\times2\pi=\pi$ (aire d'un quart de disque de rayon $2$ ).
$m=\dfrac{1}{4}\times2\pi=\dfrac{\pi}{2}\approx1{,}57$ .