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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Aires algébriques : intégrale d'une fonction de signe variable

On se place dans un repère orthogonal (O ; ı⃗,ȷ⃗)(O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath). L'unité d'aire (u.a.) est l'aire d'un carreau du quadrillage, c'est-à-dire d'un rectangle de côtés 11 en abscisse et 11 en ordonnée. La droite Cf\mathcal{C}_f représente la fonction f:x↦x−1f : x\mapsto x-1 sur [−1 ; 3][-1\,;\,3].

Droite y=x-1 sur [-1;3] avec triangle négatif (rouge) sur [-1;1] et triangle positif (vert) sur [1;3].

  1. Quel est le signe de ff sur [−1 ; 1][-1\,;\,1] ? sur [1 ; 3][1\,;\,3] ?

  2. Calculer l'aire géométrique de chacun des deux triangles colorés.

  3. En déduire ∫−11f(x) dx\displaystyle\int_{-1}^1f(x)\,dx, ∫13f(x) dx\displaystyle\int_1^3f(x)\,dx puis ∫−13f(x) dx\displaystyle\int_{-1}^3f(x)\,dx.

  4. Déterminer l'aire, en u.a., du domaine délimité par Cf\mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites x=−1x=-1 et x=3x=3. Quelle est la valeur de ∫−13∣f(x)∣ dx\displaystyle\int_{-1}^3|f(x)|\,dx ?

  5. Retrouver ∫−13f(x) dx\displaystyle\int_{-1}^3f(x)\,dx par le calcul avec une primitive.

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Aires algébriques : intégrale d'une fonction de signe variable

  1. f(x)≤0f(x)\leq0 sur [−1 ; 1][-1\,;\,1] ; f(x)≥0f(x)\geq0 sur [1 ; 3][1\,;\,3].

  2. Chaque triangle est rectangle isocèle de côté 22 : aire 2×22=2\dfrac{2\times2}{2}=2 u.a.

  3. ∫−11f=−2\displaystyle\int_{-1}^1f=-2 (fonction négative), ∫13f=2\displaystyle\int_1^3f=2, donc ∫−13f=−2+2=0\displaystyle\int_{-1}^3f=-2+2=0.

  4. Aire =2+2=4=2+2=4 u.a. =∫−13∣f(x)∣dx=\displaystyle\int_{-1}^3|f(x)|dx.

  5. F(x)=x22−xF(x)=\dfrac{x^2}{2}-x ; F(3)−F(−1)=(92−3)−(12+1)=32−32=0F(3)-F(-1)=\left(\dfrac92-3\right)-\left(\dfrac12+1\right)=\dfrac32-\dfrac32=0 ✓.