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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Encadrer une intégrale en comptant les carreaux

On se place dans un repère orthogonal $(O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath)$ . L'unité d'aire (u.a.) est l'aire d'un carreau du quadrillage, c'est-à-dire d'un rectangle de côtés $1$ en abscisse et $1$ en ordonnée. On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,4]$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{4}$ , croissante et positive. Les carreaux entièrement situés sous la courbe sont en vert ; les carreaux que la courbe traverse (ou qui sont sous la courbe) sont en vert et orange.

Parabole y=x²/4 sur [0;4] avec carreaux verts entièrement sous la courbe et carreaux orange traversés.

Combien de carreaux sont entièrement situés entre l'axe des abscisses et la courbe (carreaux verts) ? En déduire un minorant de $I=\displaystyle\int_0^4f(x)\,dx$ .
Combien de carreaux contiennent au moins un point de la région sous la courbe (verts + oranges) ? En déduire un majorant de $I$ .
Donner l'encadrement obtenu de $I$ .
Calculer exactement $I$ à l'aide d'une primitive de $f$ .
Vérifier que la valeur obtenue appartient à l'encadrement. Quelle est l'amplitude de l'encadrement ? Comment l'améliorer ?

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Corrigé — Encadrer une intégrale en comptant les carreaux

Il y en a $3$ : un carreau dans la colonne $[2\,;\,3]$ et deux dans la colonne $[3\,;\,4]$ . Donc $I\geq3$ .
Colonnes $[0;1]$ , $[1;2]$ , $[2;3]$ , $[3;4]$ : $1+1+3+4=9$ carreaux. Donc $I\leq9$ .
$3\leq I\leq9$ .
$F(x)=\dfrac{x^3}{12}$ donc $I=F(4)-F(0)=\dfrac{64}{12}=\dfrac{16}{3}\approx5{,}33$ .
$3\leq\dfrac{16}{3}\leq9$ ✓. L'amplitude est $9-3=6$ u.a. On peut l'améliorer en utilisant un quadrillage plus fin (carreaux plus petits), ce qui resserre les deux bornes.