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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Aire sous une courbe affine par morceaux

On se place dans un repère orthogonal $(O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath)$ . L'unité d'aire (u.a.) est l'aire d'un carreau du quadrillage, c'est-à-dire d'un rectangle de côtés $1$ en abscisse et $1$ en ordonnée. La courbe $\mathcal{C}_f$ représente une fonction $f$ affine par morceaux sur $[0\,;\,5]$ ; elle passe par les points $(0\,;\,1)$ , $(2\,;\,3)$ et $(5\,;\,3)$ .

Courbe affine par morceaux passant par (0;1), (2;3), (5;3), avec le trapèze sur [0;2] et le rectangle sur [2;5] colorés.

Lire graphiquement $f(0)$ , $f(2)$ et $f(5)$ .
Calculer l'aire, en u.a., de la partie sous la courbe entre $x=0$ et $x=2$ (trapèze). En déduire $\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx$ .
Calculer de même $\displaystyle\int_2^5f(x)\,dx$ .
En déduire $\displaystyle\int_0^5f(x)\,dx$ puis la valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;\,5]$ .

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Aire sous une courbe affine par morceaux

$f(0)=1$ , $f(2)=3$ , $f(5)=3$ .
Trapèze de bases $f(0)=1$ et $f(2)=3$ , de hauteur $2$ : $\dfrac{(1+3)\times2}{2}=4$ u.a. Comme $f\geq0$ , $\displaystyle\int_0^2f(x)dx=4$ .
Rectangle de largeur $3$ et de hauteur $3$ : $9$ u.a. donc $\displaystyle\int_2^5f(x)dx=9$ .
Chasles : $\displaystyle\int_0^5f=4+9=13$ . Valeur moyenne : $m=\dfrac{13}{5}=2{,}6$ .