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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Intégration par parties : x^n ln x et ln x

Intégration par parties : $\displaystyle\int_a^bu(x)v'(x)\,dx=\Big[u(x)v(x)\Big]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\,dx$ .

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Corrigé — Intégration par parties : x^n ln x et ln x

IPP avec $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=x$ (donc $u'(x)=\dfrac1x$ et $v(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}$ ). Une primitive de $f : x\mapsto x\ln x$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^{2}\ln x-\dfrac{1}{4}x^{2}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{2}=F(2)-F(1)=2\ln 2-\dfrac{3}{4}$ .
IPP avec $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=1$ (donc $u'(x)=\dfrac1x$ et $v(x)=x$ ). Une primitive de $f : x\mapsto \ln x$ est $F : x\mapsto x\ln x-x$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{3}=F(3)-F(1)=3\ln 3-2$ .
IPP avec $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=x^{2}$ (donc $u'(x)=\dfrac1x$ et $v(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}$ ). Une primitive de $f : x\mapsto x^{2}\ln x$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{3}x^{3}\ln x-\dfrac{1}{9}x^{3}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{2}=F(2)-F(1)=\dfrac{8}{3}\ln 2-\dfrac{7}{9}$ .
IPP avec $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=x$ (donc $u'(x)=\dfrac1x$ et $v(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}$ ). Une primitive de $f : x\mapsto x\ln x$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^{2}\ln x-\dfrac{1}{4}x^{2}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{4}=F(4)-F(1)=16\ln 2-\dfrac{15}{4}$ .
IPP avec $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=1$ (donc $u'(x)=\dfrac1x$ et $v(x)=x$ ). Une primitive de $f : x\mapsto \ln x$ est $F : x\mapsto x\ln x-x$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{2}^{4}=F(4)-F(2)=6\ln 2-2$ .