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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Valeur moyenne d'une fonction polynôme

La valeur moyenne d'une fonction continue ff sur [a ; b][a\,;\,b] est m=1b−a∫abf(x) dxm=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx.

  1. Calculer la valeur moyenne mm de la fonction f:x↦3x2f : x\mapsto 3x^{2} sur l'intervalle [0 ; 2][0\,;\,2].

  2. Calculer la valeur moyenne mm de la fonction f:x↦2x+1f : x\mapsto 2x+1 sur l'intervalle [0 ; 4][0\,;\,4].

  3. Calculer la valeur moyenne mm de la fonction f:x↦4x3f : x\mapsto 4x^{3} sur l'intervalle [1 ; 3][1\,;\,3].

  4. Calculer la valeur moyenne mm de la fonction f:x↦−2x+6f : x\mapsto -2x+6 sur l'intervalle [0 ; 3][0\,;\,3].

  5. Calculer la valeur moyenne mm de la fonction f:x↦3x3+32xf : x\mapsto 3x^{3}+\dfrac{3}{2}x sur l'intervalle [−1 ; 1][-1\,;\,1].

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Valeur moyenne d'une fonction polynôme

  1. m=1b−a∫abf(x) dx=12∫023x2 dxm=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}3x^{2}\,dx. Une primitive de ff est F:x↦x3F : x\mapsto x^{3}, d'où ∫02f(x) dx=F(2)−F(0)=8\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx=F(2)-F(0)=8 et m=12×(8)=4m=\dfrac{1}{2}\times\left(8\right)=4.

  2. m=1b−a∫abf(x) dx=14∫04(2x+1) dxm=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\dfrac{1}{4}\int_{0}^{4}\left(2x+1\right)\,dx. Une primitive de ff est F:x↦x2+xF : x\mapsto x^{2}+x, d'où ∫04f(x) dx=F(4)−F(0)=20\displaystyle\int_{0}^{4}f(x)\,dx=F(4)-F(0)=20 et m=14×(20)=5m=\dfrac{1}{4}\times\left(20\right)=5.

  3. m=1b−a∫abf(x) dx=12∫134x3 dxm=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\int_{1}^{3}4x^{3}\,dx. Une primitive de ff est F:x↦x4F : x\mapsto x^{4}, d'où ∫13f(x) dx=F(3)−F(1)=80\displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\,dx=F(3)-F(1)=80 et m=12×(80)=40m=\dfrac{1}{2}\times\left(80\right)=40.

  4. m=1b−a∫abf(x) dx=13∫03(−2x+6) dxm=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\dfrac{1}{3}\int_{0}^{3}\left(-2x+6\right)\,dx. Une primitive de ff est F:x↦−x2+6xF : x\mapsto -x^{2}+6x, d'où ∫03f(x) dx=F(3)−F(0)=9\displaystyle\int_{0}^{3}f(x)\,dx=F(3)-F(0)=9 et m=13×(9)=3m=\dfrac{1}{3}\times\left(9\right)=3.

  5. m=1b−a∫abf(x) dx=12∫−11(3x3+32x) dxm=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\int_{-1}^{1}\left(3x^{3}+\dfrac{3}{2}x\right)\,dx. Une primitive de ff est F:x↦34x4+34x2F : x\mapsto \dfrac{3}{4}x^{4}+\dfrac{3}{4}x^{2}, d'où ∫−11f(x) dx=F(1)−F(−1)=0\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=F(1)-F(-1)=0 et m=12×(0)=0m=\dfrac{1}{2}\times\left(0\right)=0.