Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Reconnaître u'/u et u'u (cas variés)

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$ , alors $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ .

Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{\ln 3}\dfrac{e^x}{e^x+1}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{e}^{e^{2}}\dfrac{1}{x\ln x}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{\ln x}{x}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{2x+3}{x^2+3x}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}\dfrac{e^x}{e^x+2}\,dx$ .

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Reconnaître u'/u et u'u (cas variés)

Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{e^x}{e^x+1}$ est $F : x\mapsto \ln\left(e^x+1\right)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{\ln 3}=F(\ln 3)-F(0)=\ln 2$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{1}{x\ln x}$ est $F : x\mapsto \ln\left(\ln x\right)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{e}^{e^{2}}=F(e^{2})-F(e)=\ln 2$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{\ln x}{x}$ est $F : x\mapsto \dfrac{(\ln x)^2}{2}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{e}=F(e)-F(1)=\dfrac{1}{2}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{2x+3}{x^2+3x}$ est $F : x\mapsto \ln\left(x^2+3x\right)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{2}=F(2)-F(1)=-\ln 2+\ln 5$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{e^x}{e^x+2}$ est $F : x\mapsto \ln\left(e^x+2\right)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{\ln 2}=F(\ln 2)-F(0)=2\ln 2-\ln 3$ .