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Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Tétraèdre : vrai ou faux

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $A(0\,;\,0\,;\,0)$ , $B(1\,;\,0\,;\,0)$ , $C(0\,;\,1\,;\,0)$ et $D(0\,;\,0\,;\,1)$ . Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation fausse doit être justifiée.

Affirmation. Le plan $(BCD)$ a pour équation $x+y+z=1$ .
Affirmation. Le triangle $BCD$ est équilatéral.
Affirmation. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes.
Affirmation. Le point $G\left(\dfrac14\,;\,\dfrac14\,;\,\dfrac14\right)$ appartient au plan $(BCD)$ .
Affirmation. La droite passant par $A$ et le centre de gravité $G'\left(\dfrac13\,;\,\dfrac13\,;\,\dfrac13\right)$ de $BCD$ est orthogonale au plan $(BCD)$ .

Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Corrigé — Tétraèdre : vrai ou faux

Vraie. $B(1,0,0)$ , $C(0,1,0)$ , $D(0,0,1)$ vérifient tous $x+y+z=1$ , et ces trois points non alignés déterminent le plan : c'est bien $(BCD)$ .
Vraie. $BC^2=1+1+0=2$ , $BD^2=1+0+1=2$ , $CD^2=0+1+1=2$ : les trois côtés valent $\sqrt2$ .
Fausse. Un point de $(AB)$ est $(t\,;\,0\,;\,0)$ et un point de $(CD)$ est $(0\,;\,1-s\,;\,s)$ . Une intersection exigerait $t=0$ , $0=1-s$ et $0=s$ , ce qui est impossible ( $s=1$ et $s=0$ ). Elles n'ont pas de point commun et ne sont pas parallèles ( $\overrightarrow{AB}(1,0,0)$ et $\overrightarrow{CD}(0,-1,1)$ ne sont pas colinéaires) : elles sont non coplanaires (elles sont d'ailleurs orthogonales).
Fausse. $\dfrac14+\dfrac14+\dfrac14=\dfrac34\neq1$ : $G$ ne vérifie pas l'équation de $(BCD)$ . (C'est l'isobarycentre de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , situé à l'intérieur du tétraèdre.)
Vraie. $\overrightarrow{AG'}\left(\dfrac13,\dfrac13,\dfrac13\right)$ est colinéaire à $\vec n(1,1,1)$ , vecteur normal de $(BCD)$ (d'après son équation $x+y+z=1$ ). La droite $(AG')$ est donc orthogonale au plan $(BCD)$ . De plus $G'\in(BCD)$ car $\dfrac13\times3=1$ .