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Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Droite et plan : vrai ou faux

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $A(1\,;\,2\,;\,3)$ , $B(3\,;\,1\,;\,2)$ et $C(0\,;\,3\,;\,1)$ et le plan $(P)$ d'équation $x+y+z=6$ . Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation fausse doit être justifiée.

Affirmation. La droite $(AB)$ est contenue dans le plan $(P)$ .
Affirmation. Le point $C$ appartient au plan $(P)$ .
Affirmation. La droite $(AB)$ est orthogonale au plan $(P)$ .
Affirmation. Le point $E(5\,;\,0\,;\,1)$ appartient à la droite $(AB)$ .
Affirmation. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Corrigé — Droite et plan : vrai ou faux

Vraie. $A\in(P)$ car $1+2+3=6$ , et $B\in(P)$ car $3+1+2=6$ . Deux points de la droite sont dans le plan : la droite $(AB)$ est contenue dans $(P)$ .
Fausse. $0+3+1=4\neq6$ : les coordonnées de $C$ ne vérifient pas l'équation de $(P)$ .
Fausse. Un vecteur normal de $(P)$ est $\vec n(1,1,1)$ et $\overrightarrow{AB}(2,-1,-1)$ . On a $\overrightarrow{AB}\cdot\vec n=2-1-1=0$ : $\overrightarrow{AB}$ est orthogonal à $\vec n$ , donc la droite est parallèle au plan (ici contenue dedans), et non orthogonale. Pour être orthogonale à $(P)$ , $\overrightarrow{AB}$ devrait être colinéaire à $\vec n$ , ce qui n'est pas le cas.
Vraie. Une représentation paramétrique de $(AB)$ est $x=1+2t$ , $y=2-t$ , $z=3-t$ . Pour $t=2$ : $(5\,;\,0\,;\,1)=E$ . Donc $E\in(AB)$ .
Fausse. $\overrightarrow{AB}(2,-1,-1)$ et $\overrightarrow{AC}(-1,1,-2)$ : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-2-1+2=-1\neq0$ . L'angle en $A$ n'est pas droit.