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Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Tétraèdre : milieux d'arêtes et isobarycentre

Soit $ABCD$ un tétraèdre. On note $I$ , $J$ , $K$ , $L$ les milieux respectifs des arêtes $[AB]$ , $[CD]$ , $[AC]$ et $[BD]$ .

Montrer que $\overrightarrow{IJ}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)$ .
Soit $K$ le milieu de $[AC]$ et $L$ le milieu de $[BD]$ . Montrer que $\overrightarrow{IK}=\dfrac12\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{LJ}=\dfrac12\overrightarrow{BC}$ . Que peut-on dire du quadrilatère $IKJL$ ?
Soit $G$ l'isobarycentre de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , c'est-à-dire le point tel que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec0$ . Montrer que $G$ est le milieu de $[IJ]$ .
Montrer de même que $G$ est le milieu de $[KL]$ . Que peut-on en conclure pour les segments joignant les milieux d'arêtes opposées ?
On se place dans le repère $\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AD}\right)$ . Donner les coordonnées de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , de $I$ , de $J$ et de $G$ , et vérifier que $G$ est le milieu de $[IJ]$ .

Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Corrigé — Tétraèdre : milieux d'arêtes et isobarycentre

Par Chasles : $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CJ}$ et $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DJ}$ .

En additionnant : $2\overrightarrow{IJ}=(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+(\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{DJ})$ . Or $I$ est le milieu de $[AB]$ donc $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0$ , et $J$ est le milieu de $[CD]$ donc $\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{DJ}=\vec0$ .

Donc $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$ , d'où le résultat.
Dans le triangle $ABC$ , $I$ et $K$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AC]$ : $\overrightarrow{IK}=\dfrac12\overrightarrow{BC}$ (droite des milieux). Dans le triangle $BCD$ , $L$ et $J$ sont les milieux de $[BD]$ et $[CD]$ : $\overrightarrow{LJ}=\dfrac12\overrightarrow{BC}$ .

Donc $\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{LJ}$ : $IKJL$ est un parallélogramme (en particulier ses quatre sommets sont coplanaires).
Comme $I$ est le milieu de $[AB]$ : $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GI}$ . Comme $J$ est le milieu de $[CD]$ : $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GJ}$ .

En additionnant : $2\overrightarrow{GI}+2\overrightarrow{GJ}=\vec0$ , c'est-à-dire $\overrightarrow{GI}=-\overrightarrow{GJ}$ : $G$ est le milieu de $[IJ]$ .
$2\overrightarrow{GK}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}$ et $2\overrightarrow{GL}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}$ . La somme donne $2\overrightarrow{GK}+2\overrightarrow{GL}=\vec0$ : $G$ est le milieu de $[KL]$ .

Le même raisonnement vaut pour les milieux $M$ de $[AD]$ et $N$ de $[BC]$ . Les trois segments joignant les milieux des arêtes opposées ( $[IJ]$ , $[KL]$ , $[MN]$ ) ont donc le même milieu $G$ : ils sont concourants en $G$ .
$A(0\,;\,0\,;\,0)$ , $B(1\,;\,0\,;\,0)$ , $C(0\,;\,1\,;\,0)$ , $D(0\,;\,0\,;\,1)$ . Alors $I(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,0)$ , $J(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})$ et $G(\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{4})$ (moyenne des coordonnées).

Le milieu de $[IJ]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{\frac12+0}{2}\,;\,\dfrac{0+\frac12}{2}\,;\,\dfrac{0+\frac12}{2}\right)=\left(\dfrac14\,;\,\dfrac14\,;\,\dfrac14\right)$ , ce sont bien celles de $G$ .