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Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Tétraèdre trirectangle

Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ de l'espace, on considère les points $A(0\,;\,0\,;\,0)$ , $B(4\,;\,0\,;\,0)$ , $C(0\,;\,3\,;\,0)$ et $D(0\,;\,0\,;\,2)$ . Le tétraèdre $ABCD$ est dit trirectangle en $A$ .

Montrer que les trois angles du tétraèdre en $A$ sont droits, c'est-à-dire que les droites $(AB)$ , $(AC)$ et $(AD)$ sont deux à deux perpendiculaires.
Montrer que le vecteur $\vec n(3,4,6)$ est normal au plan $(BCD)$ , puis déterminer une équation cartésienne de $(BCD)$ .
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur le plan $(BCD)$ .
Calculer la distance $AH$ de $A$ au plan $(BCD)$ .
Calculer le volume du tétraèdre de deux façons : avec la base $ABC$ et la hauteur $AD$ , puis avec la base $BCD$ et la hauteur $AH$ . En déduire l'aire de $BCD$ .

Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Corrigé — Tétraèdre trirectangle

$\overrightarrow{AB}(4,0,0)$ , $\overrightarrow{AC}(0,3,0)$ , $\overrightarrow{AD}(0,0,2)$ . Chaque produit scalaire est nul : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ , $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0$ , $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=0$ .

Les trois droites sont concourantes en $A$ et deux à deux orthogonales, donc perpendiculaires.
$\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ . Alors $\vec n\cdot\overrightarrow{BC}=-12+12+0=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{BD}=-12+0+12=0$ . Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc $\vec n$ est normal à $(BCD)$ .

Équation : $3x+4y+6z+d=0$ avec $B(4\,;\,0\,;\,0)$ : $12+d=0$ , donc $d=-12$ .

$(BCD) : 3x+4y+6z-12=0$ (on vérifie : $C$ donne $12-12=0$ et $D$ donne $12-12=0$ ).
Le projeté orthogonal de $A$ est sur la droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec n$ : $H(3k\,;\,4k\,;\,6k)$ .

$H\in(BCD)$ donne $9k+16k+36k-12=0$ , soit $61k=12$ et $k=\dfrac{12}{61}$ .

Ainsi $H(\dfrac{36}{61}\,;\,\dfrac{48}{61}\,;\,\dfrac{72}{61})$ .
$\overrightarrow{AH}=\dfrac{12}{61}\vec n$ et $\|\vec n\|=\sqrt{9+16+36}=\sqrt{61}$ . Donc $AH=\dfrac{12}{61}\sqrt{61}=\dfrac{12}{\sqrt{61}}=\dfrac{12\sqrt{61}}{61}\approx1{,}54$ .
Base $ABC$ rectangle en $A$ : aire $=\dfrac12\times4\times3=6$ , hauteur $AD=2$ (car $(AD)\perp(ABC)$ ). $V=\dfrac13\times6\times2=4$ .

Avec la base $BCD$ et la hauteur $AH=\dfrac{12}{\sqrt{61}}$ : $V=\dfrac13\times\mathcal{A}_{BCD}\times\dfrac{12}{\sqrt{61}}=4$ , d'où $\mathcal{A}_{BCD}=\sqrt{61}$ .