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Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Cube : distance d'un point à une diagonale

On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ , et on se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right)$ . Dans ce repère : $A(0\,;\,0\,;\,0)$ , $B(1\,;\,0\,;\,0)$ , $C(1\,;\,1\,;\,0)$ , $D(0\,;\,1\,;\,0)$ , $E(0\,;\,0\,;\,1)$ , $F(1\,;\,0\,;\,1)$ , $G(1\,;\,1\,;\,1)$ et $H(0\,;\,1\,;\,1)$ .

Soit $M$ un point du segment $[AG]$ . Justifier qu'il existe $t\in[0\,;\,1]$ tel que $M(t\,;\,t\,;\,t)$ , puis donner les coordonnées de $\overrightarrow{BM}$ .
Montrer que $BM^2=3t^2-2t+1$ .
Déterminer la valeur de $t$ pour laquelle $\overrightarrow{BM}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AG}$ . On note $P$ le point correspondant.
En déduire la distance du point $B$ à la droite $(AG)$ , puis retrouver ce résultat en étudiant la fonction $t\mapsto3t^2-2t+1$ .
Calculer l'aire du triangle $ABG$ de deux façons : avec la hauteur $BP$ , puis en utilisant l'angle droit du triangle.

Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Corrigé — Cube : distance d'un point à une diagonale

$M\in[AG]$ si et seulement s'il existe $t\in[0\,;\,1]$ tel que $\overrightarrow{AM}=t\,\overrightarrow{AG}$ . Comme $A$ est l'origine et $\overrightarrow{AG}(1,1,1)$ , on obtient $M(t\,;\,t\,;\,t)$ .

Alors $\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix}t-1\\t\\t\end{pmatrix}$ .
$BM^2=(t-1)^2+t^2+t^2=t^2-2t+1+2t^2=3t^2-2t+1$ .
$\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{AG}=(t-1)+t+t=3t-1$ , qui s'annule pour $t=\dfrac13$ .

Le point correspondant est $P\left(\dfrac13\,;\,\dfrac13\,;\,\dfrac13\right)$ : c'est le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(AG)$ (il est bien dans $[AG]$ car $\dfrac13\in[0\,;\,1]$ ).
$BP^2=3\times\dfrac19-\dfrac23+1=\dfrac13-\dfrac23+1=\dfrac23$ , donc $BP=\sqrt{\dfrac23}=\dfrac{\sqrt6}{3}$ .

Par l'étude de la fonction $g(t)=3t^2-2t+1$ : c'est une parabole tournée vers le haut, de minimum atteint en $t=\dfrac{2}{6}=\dfrac13$ , et $g\left(\dfrac13\right)=\dfrac23$ . On retrouve que $BM$ est minimale pour $M=P$ , et vaut $\dfrac{\sqrt6}{3}$ .
Avec la hauteur issue de $B$ : l'aire vaut $\dfrac12\times AG\times BP=\dfrac12\times\sqrt3\times\dfrac{\sqrt6}{3}=\dfrac{\sqrt{18}}{6}=\dfrac{3\sqrt2}{6}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ .

Autre calcul : $\overrightarrow{BA}(-1,0,0)$ et $\overrightarrow{BG}(0,1,1)$ ont un produit scalaire nul, donc $ABG$ est rectangle en $B$ , avec $BA=1$ et $BG=\sqrt2$ : aire $=\dfrac12\times1\times\sqrt2=\dfrac{\sqrt2}{2}$ . Les deux résultats coïncident.