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Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Cube : un triangle équilatéral et son plan

On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ , et on se place dans le repère orthonormé $\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right)$ . Dans ce repère : $A(0\,;\,0\,;\,0)$ , $B(1\,;\,0\,;\,0)$ , $C(1\,;\,1\,;\,0)$ , $D(0\,;\,1\,;\,0)$ , $E(0\,;\,0\,;\,1)$ , $F(1\,;\,0\,;\,1)$ , $G(1\,;\,1\,;\,1)$ et $H(0\,;\,1\,;\,1)$ . On note $I$ , $J$ et $K$ les milieux respectifs de $[EF]$ , $[BC]$ et $[DH]$ .

Soit $I$ , $J$ et $K$ les milieux respectifs des segments $[EF]$ , $[BC]$ et $[DH]$ . Donner leurs coordonnées.
Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ . Les points $I$ , $J$ , $K$ sont-ils alignés ?
Montrer que le triangle $IJK$ est équilatéral.
Montrer que le vecteur $\vec n(1,1,1)$ est normal au plan $(IJK)$ , puis déterminer une équation cartésienne de $(IJK)$ .
Montrer que la droite $(AG)$ coupe le plan $(IJK)$ en son milieu $O$ et qu'elle lui est orthogonale.

Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Corrigé — Cube : un triangle équilatéral et son plan

$I(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1)$ , $J(1\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,0)$ , $K(0\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{2})$ .
$\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IK}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} \\ 1 \\ -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ .

S'ils étaient colinéaires, il existerait $k$ avec $\overrightarrow{IK}=k\,\overrightarrow{IJ}$ ; la première coordonnée donnerait $k=-1$ , la deuxième $k=2$ : contradiction. Les points ne sont pas alignés.
$IJ^2=\dfrac14+\dfrac14+1=\dfrac32$ , $IK^2=\dfrac14+1+\dfrac14=\dfrac32$ , et $\overrightarrow{JK}\begin{pmatrix} -1 \\ \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ donne $JK^2=1+\dfrac14+\dfrac14=\dfrac32$ .

Les trois côtés ont la même longueur $\sqrt{\dfrac32}=\dfrac{\sqrt6}{2}$ : $IJK$ est équilatéral.
$\vec n\cdot\overrightarrow{IJ}=\dfrac12+\dfrac12-1=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{IK}=-\dfrac12+1-\dfrac12=0$ . Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ ne sont pas colinéaires : $\vec n$ est normal à $(IJK)$ .

Équation : $x+y+z+d=0$ avec $I\left(\dfrac12\,;\,0\,;\,1\right)$ : $\dfrac32+d=0$ , donc $d=-\dfrac32$ .

$(IJK) : x+y+z-\dfrac32=0$ .
$\overrightarrow{AG}(1,1,1)=\vec n$ : $(AG)$ est orthogonale au plan $(IJK)$ .

Un point de $(AG)$ s'écrit $(t\,;\,t\,;\,t)$ ; il est dans $(IJK)$ si $3t=\dfrac32$ , soit $t=\dfrac12$ . Le point d'intersection est $O\left(\dfrac12\,;\,\dfrac12\,;\,\dfrac12\right)$ , milieu de $[AG]$ (centre du cube).