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Niveau 2 — Équations différentielles — 45 min

Sujet type bac : étude d'une solution et aire

Partie A. On considère l'équation $(E)$ : $y'+2y=4x-2$ , d'inconnue $y$ fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ . Partie B. On étudie la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=0$ ; $\mathcal{C}$ est sa courbe dans un repère orthonormé.

(A) Montrer que $g : x\mapsto2x-2$ est solution de $(E)$ , puis résoudre $(E)$ et déterminer $f$ .
(B) Montrer que la droite $\Delta : y=2x-2$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}$ en $+\infty$ et préciser la position relative de $\mathcal{C}$ et $\Delta$ . Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ (valeur exacte du minimum).
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions : $0$ et un réel $\alpha$ tel que $0{,}5<\alpha<1$ . Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ (en unités d'aire) du domaine délimité par $\mathcal{C}$ , la droite $\Delta$ et les droites $x=0$ et $x=1$ .

Niveau 2 — Équations différentielles — 45 min

Corrigé — Sujet type bac : étude d'une solution et aire

$g'(x)=2$ et $-2g(x)+4x-2=-4x+4+4x-2=2$ ✓. Solutions : $Ce^{-2x}+2x-2$ ; $f(0)=C-2=0$ donne $C=2$ : $f(x)=2e^{-2x}+2x-2$ .
$f(x)-(2x-2)=2e^{-2x}\to0$ en $+\infty$ et $>0$ : $\mathcal{C}$ est au-dessus de $\Delta$ . En $-\infty$ : $2e^{-2x}\to+\infty$ et $2x-2\to-\infty$ ; factorisation $f(x)=e^{-2x}\left(2+(2x-2)e^{2x}\right)$ avec $(2x-2)e^{2x}\to0$ : $f(x)\to+\infty$ .
$f'(x)=2-4e^{-2x}\geq0\iff e^{-2x}\leq\dfrac12\iff x\geq\dfrac{\ln2}{2}$ . Minimum : $f\left(\dfrac{\ln2}2\right)=2\times\dfrac12+\ln2-2=\ln2-1\approx-0{,}307$ .

$x$ $-\infty$ $\dfrac{\ln2}{2}$ $+\infty$
$f$ $+\infty$ $\searrow$ $\ln2-1$ $\nearrow$ $+\infty$
$f(0)=0$ et $f\left(\dfrac{\ln2}{2}\right)<0$ avec $f$ strictement décroissante sur $\left]-\infty\,;\,\dfrac{\ln2}{2}\right]$ : $0$ est l'unique solution de cet intervalle. Sur $\left[\dfrac{\ln2}2\,;\,+\infty\right[$ , $f$ est continue strictement croissante de $\ln2-1<0$ à $+\infty$ : elle s'annule exactement une fois en $\alpha$ . $f(0{,}5)=2e^{-1}-1\approx-0{,}264<0$ et $f(1)=2e^{-2}\approx0{,}271>0$ donc $0{,}5<\alpha<1$ . Par balayage (ou dichotomie) : $f(0{,}79)<0<f(0{,}80)$ , d'où $\alpha\approx0{,}80$ .
$\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^1 2e^{-2x}dx=\left[-e^{-2x}\right]_0^1=1-e^{-2}\approx0{,}865$ u.a.