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Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Famille de charges selon un paramètre

Pour $m>0$ , on note $f_m$ la solution de $y'=-m\,y+m$ vérifiant $f_m(0)=0$ .

Montrer que $f_m(x)=1-e^{-mx}$ .
Étudier les variations, la limite en $+\infty$ et la convexité de $f_m$ .
Montrer que la tangente à l'origine passe par le point de coordonnées $\left(\dfrac1m\,;\,1\right)$ .
Pour $x>0$ , comparer $f_m(x)$ et $f_n(x)$ lorsque $0<m<n$ . Quel est le temps $t_{90}(m)$ pour que $f_m$ atteigne $0{,}9$ ? Pour quelles valeurs de $m$ a-t-on $t_{90}(m)\leq1$ ?
Calculer $I(m)=\displaystyle\int_0^1f_m(x)\,dx$ en fonction de $m$ , puis $I(1)$ .

Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Corrigé — Famille de charges selon un paramètre

$-\dfrac ba=1$ donc $y=Ke^{-mx}+1$ ; $f_m(0)=K+1=0$ donne $K=-1$ .
$f_m'(x)=me^{-mx}>0$ : croissante. $\lim\limits_{x\to+\infty}f_m(x)=1$ . $f_m''(x)=-m^2e^{-mx}<0$ : concave sur $\mathbb{R}$ .
$f_m'(0)=m$ , tangente $y=mx$ ; elle passe par $\left(\dfrac1m\,;\,1\right)$ car $m\times\dfrac1m=1$ .
$m<n\Rightarrow e^{-nx}<e^{-mx}$ pour $x>0$ donc $f_n(x)>f_m(x)$ : une valeur plus grande de $m$ « charge » plus vite. $f_m(t)=0{,}9\iff e^{-mt}=0{,}1\iff t_{90}(m)=\dfrac{\ln10}{m}$ . $t_{90}(m)\leq1\iff m\geq\ln10\approx2{,}303$ .
$I(m)=\left[x+\dfrac{e^{-mx}}{m}\right]_0^1=1+\dfrac{e^{-m}-1}{m}$ . $I(1)=e^{-1}\approx0{,}368$ .