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Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Cas résonant y' = y + e^x

On considère l'équation $(E)$ : $y'-y=e^x$ et la solution $f$ vérifiant $f(0)=1$ .

Soit $y$ dérivable et $z(x)=y(x)e^{-x}$ . Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $z'(x)=1$ .
En déduire les solutions de $(E)$ et $f$ .
Limites de $f$ en $\pm\infty$ et variations de $f$ .
Convexité de $f$ et abscisse du point d'inflexion.
Résoudre $f(x)=0$ et $f(x)>0$ ; montrer que pour tout réel $x$ , $f(x)\geq-e^{-2}$ .

Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Corrigé — Cas résonant y' = y + e^x

$z'=(y'-y)e^{-x}$ . Donc $y'-y=e^x\iff z'(x)=e^xe^{-x}=1$ .
$z(x)=x+C$ donc $y(x)=(x+C)e^x$ . $f(0)=C=1$ : $f(x)=(x+1)e^x$ .
$f'(x)=(x+2)e^x$ : $f$ décroît sur $]-\infty\,;\,-2]$ puis croît. $f(-2)=-e^{-2}\approx-0{,}135$ . En $+\infty$ : $f\to+\infty$ ; en $-\infty$ : $xe^x+e^x\to0$ (croissances comparées).
$f''(x)=(x+3)e^x$ : concave sur $]-\infty\,;\,-3]$ , convexe sur $[-3\,;\,+\infty[$ . Point d'inflexion $\left(-3\,;\,-2e^{-3}\right)$ .
$f(x)=(x+1)e^x$ a le signe de $x+1$ : nulle en $-1$ , positive pour $x>-1$ . Le minimum de $f$ est $f(-2)=-e^{-2}$ donc $f(x)\geq-e^{-2}$ pour tout $x$ .