Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Niveau 2 — Équations différentielles — 40 min

Méthode d'Euler

La méthode d'Euler approche la solution de $y'=F(y)$ , $y(0)=y_0$ , en posant $y_{n+1}=y_n+h\,F(y_n)$ où $h$ est le pas ; $y_n$ approche $y(nh)$ . On étudie deux équations avec ce schéma.

Pour $y'=y$ , $y(0)=1$ : montrer que $y_n=(1+h)^n$ .
Avec $h=0{,}1$ , calculer $y_{10}$ (approximation de $y(1)=e$ ) puis l'erreur ; même calcul avec $h=0{,}01$ ( $y_{100}$ ).
Dans le cas général $h=\dfrac1N$ , $y_N=\left(1+\dfrac1N\right)^N$ : quelle limite attend-on quand $N\to+\infty$ ? Pourquoi ?
Pour $y'=-2y+4$ , $y(0)=5$ , avec $h=0{,}1$ : montrer que $y_{n+1}=0{,}8y_n+0{,}4$ , puis que $y_n=2+3\times0{,}8^n$ (poser $u_n=y_n-2$ ).
Comparer $y_{10}$ à la valeur exacte $f(1)$ de la solution $f(x)=2+3e^{-2x}$ . Quel est le comportement commun des deux suites/fonctions en l'infini ?

Niveau 2 — Équations différentielles — 40 min

Corrigé — Méthode d'Euler

$y_{n+1}=y_n+hy_n=(1+h)y_n$ : suite géométrique de raison $1+h$ et de premier terme $1$ , donc $y_n=(1+h)^n$ .
$y_{10}=1{,}1^{10}\approx2{,}5937$ , erreur $\approx0{,}125$ . $y_{100}=1{,}01^{100}\approx2{,}7048$ , erreur $\approx0{,}013$ : le pas plus petit donne une meilleure approximation.
On attend $\lim\limits_{N\to+\infty}\left(1+\dfrac1N\right)^N=y(1)=e$ : plus le pas est petit, plus le schéma est proche de la vraie solution $x\mapsto e^x$ .
$y_{n+1}=y_n+0{,}1(-2y_n+4)=0{,}8y_n+0{,}4$ . Avec $u_n=y_n-2$ : $u_{n+1}=0{,}8y_n+0{,}4-2=0{,}8(y_n-2)=0{,}8u_n$ , $u_0=3$ : $u_n=3\times0{,}8^n$ donc $y_n=2+3\times0{,}8^n$ .
$y_{10}=2+3\times0{,}8^{10}\approx2{,}3221$ ; $f(1)=2+3e^{-2}\approx2{,}4060$ . Dans les deux cas la limite est $2$ (la solution constante) car $0{,}8^n\to0$ et $e^{-2x}\to0$ .