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Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Famille de solutions et sous-tangente constante

Pour tout réel $C$ , on note $f_C$ la solution de $(E)$ : $y'=y-2$ définie par $f_C(x)=Ce^x+2$ , et $\mathcal{C}_C$ sa courbe.

Vérifier que $f_C$ est bien solution de $(E)$ et que toutes les courbes $\mathcal{C}_C$ ont la droite $y=2$ pour asymptote en $-\infty$ .
Pour $C\neq0$ , montrer que la tangente à $\mathcal{C}_C$ au point d'abscisse $a$ coupe la droite $y=2$ au point d'abscisse $a-1$ , quel que soit $C$ .
Discuter, selon $C$ , le nombre de solutions de $f_C(x)=0$ .
Montrer que $\mathcal{C}_{-C}$ est la symétrique de $\mathcal{C}_C$ par rapport à la droite $y=2$ .
Pour $C=-1$ , étudier $f_{-1}$ : variations, convexité, point où la courbe coupe l'axe des abscisses.

Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Corrigé — Famille de solutions et sous-tangente constante

$f_C'(x)=Ce^x=f_C(x)-2$ ✓. Quand $x\to-\infty$ , $Ce^x\to0$ donc $f_C(x)\to2$ .
Tangente : $y=Ce^a(x-a)+Ce^a+2$ . Elle coupe $y=2$ si $Ce^a(x-a+1)=0$ , soit (car $Ce^a\neq0$ ) $x=a-1$ : indépendant de $C$ .
$Ce^x=-2$ : si $C\geq0$ , impossible ; si $C<0$ , $e^x=-\dfrac2C$ donne l'unique solution $x=\ln\left(-\dfrac2C\right)$ .
$f_{-C}(x)-2=-Ce^x=-\left(f_C(x)-2\right)$ , donc le point $(x\,;\,y)$ de $\mathcal{C}_C$ correspond à $(x\,;\,4-y)$ sur $\mathcal{C}_{-C}$ : symétrie par rapport à $y=2$ .
$f_{-1}(x)=2-e^x$ ; $f'=-e^x<0$ (décroissante), $f''=-e^x<0$ (concave). $f(x)=0\iff x=\ln2$ : point $(\ln2\,;\,0)$ . Limites : $2$ en $-\infty$ , $-\infty$ en $+\infty$ .