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Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Retrouver l'équation à partir de la courbe

Soit $f$ une solution d'une équation différentielle $(E)$ : $y'=ay+b$ ( $a\neq0$ ). La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point $A(0\,;\,2)$ , admet en $A$ une tangente de coefficient directeur $-1$ , et admet la droite $y=1$ pour asymptote horizontale en $+\infty$ .

Montrer que $2a+b=-1$ .
Les solutions sont $Ce^{ax}-\dfrac ba$ . Justifier que $a<0$ puis que $-\dfrac ba=1$ .
En déduire $a$ , $b$ , puis $f(x)$ .
Étudier les variations et la convexité de $f$ , puis la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à sa tangente en $A$ .
Calculer l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$ , l'asymptote $y=1$ et les droites $x=0$ et $x=1$ .

Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Corrigé — Retrouver l'équation à partir de la courbe

$f'(0)=af(0)+b=2a+b$ et $f'(0)=-1$ (pente de la tangente en $A$ ). Donc $2a+b=-1$ .
Si $a>0$ , $Ce^{ax}$ diverge en $+\infty$ (sauf $C=0$ , mais alors $f$ est constante, ce qui contredit $f'(0)=-1$ ) : pas d'asymptote horizontale. Donc $a<0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\dfrac ba$ . L'asymptote $y=1$ donne $-\dfrac ba=1$ , soit $b=-a$ .
$2a+b=-1$ et $b=-a$ donnent $a=-1$ , $b=1$ . $f(x)=Ce^{-x}+1$ et $f(0)=C+1=2$ donc $C=1$ : $f(x)=1+e^{-x}$ .
$f'(x)=-e^{-x}<0$ : décroissante. $f''(x)=e^{-x}>0$ : convexe. Tangente en $A$ : $y=-x+2$ ; comme $f$ est convexe, $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de sa tangente : $1+e^{-x}\geq2-x$ .
Aire $=\displaystyle\int_0^1\left(f(x)-1\right)dx=\int_0^1e^{-x}dx=\left[-e^{-x}\right]_0^1=1-e^{-1}\approx0{,}632$ u.a.