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Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Capital et versements continus

Un capital $C(t)$ (en euros, $t$ en années) placé au taux de $4\,\%$ avec capitalisation continue reçoit en plus $1\,200$ € de versements par an, étalés en continu : $C'(t)=0{,}04\,C(t)+1\,200$ .

Résoudre l'équation différentielle puis donner $C(t)$ si $C(0)=0$ .
Calculer le capital au bout de $10$ ans et le comparer au total des versements.
Au bout de combien d'années le capital atteint-il $20\,000$ € ?
On part cette fois de $C(0)=10\,000$ €. Déterminer $C(t)$ puis le temps nécessaire pour passer à $20\,000$ €.
Montrer que $C$ est croissante et convexe sur $[0\,;\,+\infty[$ quelle que soit la condition initiale $C(0)\geq0$ . Que signifie la convexité ?

Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Corrigé — Capital et versements continus

$-\dfrac ba=-\dfrac{1200}{0{,}04}=-30\,000$ . Solutions : $Ke^{0{,}04t}-30\,000$ . $C(0)=0$ donne $K=30\,000$ : $C(t)=30\,000\left(e^{0{,}04t}-1\right)$ .
$C(10)=30\,000(e^{0{,}4}-1)\approx14755$ €, pour $12\,000$ € versés : les intérêts rapportent environ $2755$ €.
$30\,000\left(e^{0{,}04t}-1\right)=20\,000\iff e^{0{,}04t}=\dfrac53\iff t=25\ln\dfrac53\approx12{,}77$ ans.
$K-30\,000=10\,000$ donc $K=40\,000$ : $C(t)=40\,000e^{0{,}04t}-30\,000$ . $C(t)=20\,000\iff e^{0{,}04t}=\dfrac54\iff t=25\ln\dfrac54\approx5{,}58$ ans.
$C(0)\geq0$ donne $C'(0)=0{,}04C(0)+1200>0$ et $C'(t)=C'(0)e^{0{,}04t}>0$ (car $C'$ vérifie $y'=0{,}04y$ ). Donc $C$ est croissante. $C''(t)=0{,}04C'(t)>0$ : $C$ est convexe, c'est-à-dire que le capital croît de plus en plus vite (effet « intérêts composés »).