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Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Population avec prélèvement

Une population de poissons (en milliers) est exploitée par pêche. On modélise son évolution par $P'(t)=0{,}1\,P(t)-20$ , où $t$ est en années : la population croît de $10\,\%$ par an mais on pêche $20$ milliers de poissons par an (en continu).

Résoudre l'équation différentielle.
Quel est l'état d'équilibre de la population ? Quelle est l'évolution si $P(0)=300$ ?
Si $P(0)=150$ , déterminer $P(t)$ et montrer que la population disparaît au bout d'un temps fini à préciser (en années).
Pour quelles valeurs de $P(0)$ la population augmente-t-elle ? Diminue-t-elle ? Interpréter l'effet du seuil $200$ .
Le taux de prélèvement devient $q$ milliers par an. Quel est le seuil critique en fonction de $q$ ? Quel prélèvement maximal assure la survie d'une population initiale de $300$ milliers ?

Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Corrigé — Population avec prélèvement

$-\dfrac ba=\dfrac{20}{0{,}1}=200$ . Solutions : $P(t)=Ke^{0{,}1t}+200$ , $K\in\mathbb{R}$ .
Équilibre : $P=200$ (milliers). Si $P(0)=300$ : $K=100$ , $P(t)=100e^{0{,}1t}+200$ est croissante, tend vers $+\infty$ (dans le modèle) : la population augmente.
$K=150-200=-50$ donc $P(t)=200-50e^{0{,}1t}$ , strictement décroissante. $P(t)=0\iff e^{0{,}1t}=4\iff t=10\ln4\approx13{,}9$ ans.
$P'(0)>0\iff P(0)>200$ . Au-dessus du seuil de $200$ milliers la population croît, en dessous elle décroît jusqu'à l'extinction : l'équilibre est instable.
Équilibre $P^*=\dfrac{q}{0{,}1}=10q$ . La population survit (ne s'éteint pas) si $P(0)\geq10q$ , soit $q\leq\dfrac{300}{10}=30$ milliers par an.