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Niveau 2 — Équations différentielles — 40 min

Second membre polynomial de degré 2

On considère l'équation $(E)$ : $y'=2y+x^2$ et la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0)=0$ .

Déterminer les réels $\alpha,\beta,\gamma$ tels que $g : x\mapsto\alpha x^2+\beta x+\gamma$ soit solution de $(E)$ .
En déduire les solutions de $(E)$ puis $f$ .
Calculer $f'$ et $f''$ . Étudier le signe de $f''$ puis les variations de $f'$ .
En déduire le signe de $f'$ (utiliser $f'(0)$ ), puis le sens de variation de $f$ .
Étudier la convexité de $f$ et la tangente en $O$ : montrer que $\mathcal{C}_f$ admet en $O$ un point d'inflexion à tangente horizontale.

Niveau 2 — Équations différentielles — 40 min

Corrigé — Second membre polynomial de degré 2

$g'(x)=2\alpha x+\beta$ et $2g(x)+x^2=(2\alpha+1)x^2+2\beta x+2\gamma$ . Identification : $2\alpha+1=0$ , $2\alpha=2\beta$ , $\beta=2\gamma$ . Donc $\alpha=-\dfrac12$ , $\beta=-\dfrac12$ , $\gamma=-\dfrac14$ : $g(x)=-\dfrac12x^2-\dfrac12x-\dfrac14$ .
Solutions : $Ce^{2x}+g(x)$ . $f(0)=C-\dfrac14=0$ donc $C=\dfrac14$ : $f(x)=\dfrac14e^{2x}-\dfrac12x^2-\dfrac12x-\dfrac14$ .
$f'(x)=\dfrac12e^{2x}-x-\dfrac12$ et $f''(x)=e^{2x}-1$ . $f''(x)\geq0\iff x\geq0$ : $f'$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .
$f'(0)=0$ est le minimum de $f'$ : $f'(x)\geq0$ pour tout réel $x$ , nulle seulement en $0$ . Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
$f''(x)=e^{2x}-1$ est négative pour $x<0$ et positive pour $x>0$ : $f$ concave sur $]-\infty\,;\,0]$ , convexe sur $[0\,;\,+\infty[$ . $f(0)=0$ et $f'(0)=0$ : $O$ est un point d'inflexion de tangente $y=0$ , que la courbe traverse.