Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Corrigé — y' = 2y + e^x : étude complète

1. $g'(x)=-e^x$ et $2g(x)+e^x=-2e^x+e^x=-e^x$ : $g$ est solution. Les solutions de $(E)$ sont $x\mapsto Ce^{2x}-e^x$, $C\in\mathbb{R}$.

2. $f(0)=C-1=0$ donc $C=1$ : $f(x)=e^{2x}-e^x=e^x\left(e^x-1\right)$.

3. En $-\infty$ : $e^{2x}\to0$ et $e^x\to0$ donc $f(x)\to0$ (asymptote $y=0$). En $+\infty$ : $f(x)=e^x(e^x-1)\to+\infty$. Signe : $e^x>0$ et $e^x-1\geq0\iff x\geq0$, donc $f\leq0$ sur $]-\infty\,;\,0]$ et $f\geq0$ sur $[0\,;\,+\infty[$.

4. $f'(x)=e^x(2e^x-1)$ s'annule en $x=-\ln2$ ; négative avant, positive après. $f(-\ln2)=\dfrac14-\dfrac12=-\dfrac14$.

   $x$	$-\infty$		$-\ln2$		$+\infty$
   $f$	$0$	$\searrow$	$-\dfrac14$	$\nearrow$	$+\infty$

5. $f''(x)=e^x(4e^x-1)$ s'annule en $x=-\ln4=-2\ln2$, négative avant, positive après : $f$ concave sur $]-\infty\,;\,-2\ln2]$, convexe sur $[-2\ln2\,;\,+\infty[$. Point d'inflexion : $\left(-2\ln2\,;\,-\dfrac3{16}\right)$ car $f(-2\ln2)=\dfrac1{16}-\dfrac14=-\dfrac3{16}$.