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Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Chute avec frottement

Un parachutiste en chute verticale a une vitesse $v(t)$ (en m/s, $t$ en secondes) qui vérifie $v'(t)=10-0{,}5\,v(t)$ , avec $v(0)=0$ (on a pris $g=10$ m/s²).

Résoudre l'équation différentielle et donner $v(t)$ .
Déterminer la vitesse limite et le temps nécessaire pour atteindre $90\,\%$ de cette vitesse.
Montrer que l'accélération $v'$ est décroissante et donner sa valeur initiale et sa limite.
Calculer la distance $x(t)=\displaystyle\int_0^t v(s)\,ds$ parcourue au bout de $t$ secondes.
Quelle distance a-t-il parcourue au bout de $10$ secondes ? Comparer avec la chute libre sans frottement ( $x=5t^2$ ).

Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Corrigé — Chute avec frottement

$v'=-0{,}5v+10$ : $-\dfrac ba=20$ , $v(t)=Ke^{-0{,}5t}+20$ , $v(0)=0$ donne $K=-20$ : $v(t)=20\left(1-e^{-0{,}5t}\right)$ .
$\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=20$ m/s. $v(t)=18\iff e^{-0{,}5t}=0{,}1\iff t=2\ln10\approx4{,}61$ s.
$v'(t)=10e^{-0{,}5t}$ est décroissante, $v'(0)=10$ m/s² (chute libre au départ) et $\lim\limits_{t\to+\infty}v'(t)=0$ (vitesse constante).
$x(t)=\left[20s+40e^{-0{,}5s}\right]_0^t=20t+40e^{-0{,}5t}-40$ .
$x(10)=200+40e^{-5}-40=160+40e^{-5}\approx160{,}3$ m, contre $5\times10^2=500$ m en chute libre.