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Niveau 2 — Équations différentielles — 30 min

Charge d'un condensateur

Dans un circuit RC série alimenté par une tension continue $E=6$ V, la tension $u(t)$ aux bornes du condensateur (en volts, $t$ en secondes) vérifie $\tau\,u'(t)+u(t)=E$ avec $\tau=RC=2$ s. Initialement le condensateur est déchargé : $u(0)=0$ .

Montrer que $u$ est solution de $y'=-\dfrac12y+3$ .
Résoudre cette équation avec $u(0)=0$ .
Calculer $u(\tau)$ en pourcentage de la tension finale. Que remarque-t-on ?
Au bout de combien de temps le condensateur est-il chargé à $99\,\%$ ? Exprimer en fonction de $\tau$ .
Montrer que la tangente à la courbe de $u$ à l'origine passe par le point $(\tau\,;\,E)$ .

Niveau 2 — Équations différentielles — 30 min

Corrigé — Charge d'un condensateur

$2u'+u=6\iff u'=-\dfrac12u+3$ .
$-\dfrac ba=6$ , donc $u(t)=Ke^{-t/2}+6$ ; $u(0)=0$ donne $K=-6$ : $u(t)=6\left(1-e^{-t/2}\right)$ .
$u(2)=6(1-e^{-1})\approx3{,}79$ V, soit $1-e^{-1}\approx63{,}2\,\%$ de $E$ : au bout d'une constante de temps, le condensateur est chargé à environ $63\,\%$ .
$1-e^{-t/2}=0{,}99\iff e^{-t/2}=0{,}01\iff t=2\ln100=\tau\ln100\approx9{,}21$ s (environ $4{,}6\,\tau$ ).
$u'(0)=-\dfrac12\times0+3=3$ ; tangente : $y=3t$ . Pour $t=2$ , $y=6=E$ : elle passe par $(2\,;\,6)$ .