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Niveau 2 — Équations différentielles — 30 min

Concentration d'un médicament en perfusion

Un médicament est administré par perfusion continue. La concentration $c(t)$ (en mg/L) dans le sang, $t$ étant en heures, vérifie $c'(t)=-0{,}2\,c(t)+5$ avec $c(0)=0$ .

Résoudre cette équation différentielle avec la condition initiale.
Étudier les variations de $c$ et sa limite en $+\infty$ . Que représente cette limite ?
Étudier la convexité de $c$ . Que peut-on dire de la vitesse d'augmentation de la concentration ?
À partir de quel instant la concentration dépasse-t-elle $20$ mg/L ? Donner la réponse en heures et minutes.
Le médecin souhaite atteindre $90\,\%$ de la concentration limite. Déterminer l'instant correspondant.

Niveau 2 — Équations différentielles — 30 min

Corrigé — Concentration d'un médicament en perfusion

$-\dfrac ba=\dfrac{5}{0{,}2}=25$ donc $c(t)=Ke^{-0{,}2t}+25$ . $c(0)=K+25=0$ donne $K=-25$ : $c(t)=25\left(1-e^{-0{,}2t}\right)$ .
$c'(t)=5e^{-0{,}2t}>0$ : $c$ est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et $\lim\limits_{t\to+\infty}c(t)=25$ : concentration limite (régime stationnaire) de $25$ mg/L.
$c''(t)=-e^{-0{,}2t}<0$ : $c$ est concave sur $[0\,;\,+\infty[$ : la concentration croît de plus en plus lentement (vitesse $c'$ décroissante vers $0$ ).
$c(t)\geq20\iff1-e^{-0{,}2t}\geq0{,}8\iff e^{-0{,}2t}\leq0{,}2\iff t\geq5\ln5\approx8{,}05$ h, soit environ $8$ h $3$ min.
$c(t)=22{,}5\iff e^{-0{,}2t}=0{,}1\iff t=5\ln10\approx11{,}51$ h.