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Niveau 2 — Équations différentielles — 30 min

Datation au carbone 14

Le nombre $N(t)$ d'atomes de carbone 14 d'un échantillon vérifie $N'(t)=-\lambda N(t)$ où $\lambda>0$ (constante radioactive) et $t$ est en années. On note $N_0=N(0)$ . La demi-vie du carbone 14 est $5\,730$ ans : c'est la durée au bout de laquelle la moitié des atomes a disparu.

Résoudre l'équation différentielle et exprimer $N(t)$ en fonction de $N_0$ , $\lambda$ et $t$ .
Montrer que $\lambda=\dfrac{\ln2}{5\,730}$ et donner une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-7}$ près.
Une pièce de bois a perdu $70\,\%$ de son carbone 14. Quel est son âge (arrondi à la dizaine d'années) ?
Après combien d'années ne reste-t-il plus que $1\,\%$ de l'échantillon (arrondi à l'année) ?
Montrer que la quantité restante est divisée par $2$ à chaque intervalle de $5\,730$ ans, c'est-à-dire que $N(t+5\,730)=\dfrac12N(t)$ pour tout $t$ .

Niveau 2 — Équations différentielles — 30 min

Corrigé — Datation au carbone 14

$N'=-\lambda N$ donne $N(t)=Ce^{-\lambda t}$ et $N(0)=C=N_0$ : $N(t)=N_0e^{-\lambda t}$ .
$N_0e^{-5730\lambda}=\dfrac{N_0}2\iff e^{-5730\lambda}=\dfrac12\iff5730\lambda=\ln2$ . Donc $\lambda=\dfrac{\ln2}{5\,730}\approx1{,}210\times10^{-4}$ .
$e^{-\lambda t}=0{,}3\iff t=\dfrac{\ln(1/0{,}3)}{\lambda}=\dfrac{5730\ln(10/3)}{\ln 2}\approx9953$ ans, soit environ $9950$ ans.
$e^{-\lambda t}\leq0{,}01\iff t\geq\dfrac{\ln100}{\lambda}=\dfrac{5730\ln100}{\ln2}\approx38069$ ans.
$N(t+5730)=N_0e^{-\lambda t}e^{-5730\lambda}=N(t)\times\dfrac12$ car $e^{-5730\lambda}=e^{-\ln 2}=\dfrac12$ . La demi-vie ne dépend pas de l'instant initial.