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Niveau 2 — Équations différentielles — 30 min

Loi de refroidissement de Newton

Une boisson est servie à $90\,°$ C dans une pièce à $20\,°$ C. D'après la loi de Newton, la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart entre la température $T(t)$ de la boisson et celle de la pièce : $T'(t)=-k\,(T(t)-20)$ où $t$ est en minutes et $k>0$ . On a $T(0)=90$ .

Montrer que $T$ est solution de $y'=-ky+20k$ et déterminer $T(t)$ en fonction de $k$ et $t$ .
Au bout de $10$ minutes, la boisson est à $40\,°$ C. Montrer que $k=\dfrac{1}{10}\ln\dfrac{7}{2}$ et donner une valeur approchée de $k$ à $10^{-3}$ près.
Étudier les variations et la limite en $+\infty$ de $T$ . Interpréter.
À partir de quel instant (à la seconde près) la boisson est-elle à moins de $25\,°$ C ?
Montrer que la tangente à la courbe de $T$ au point d'abscisse $0$ coupe la droite d'équation $y=20$ au point d'abscisse $\dfrac1k$ . Calculer cette valeur.

Niveau 2 — Équations différentielles — 30 min

Corrigé — Loi de refroidissement de Newton

$T'=-kT+20k$ : de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-k$ et $b=20k$ . Solutions : $Ce^{-kt}+20$ . $T(0)=C+20=90$ donc $C=70$ : $T(t)=20+70e^{-kt}$ .
$20+70e^{-10k}=40\iff e^{-10k}=\dfrac27\iff-10k=\ln\dfrac27\iff k=\dfrac1{10}\ln\dfrac72$ . Numériquement $k\approx0{,}125$ .
$T'(t)=-70ke^{-kt}<0$ : $T$ est strictement décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$ . $\lim\limits_{t\to+\infty}T(t)=20$ : la boisson tend vers la température de la pièce sans jamais l'atteindre.
$T(t)\leq25\iff70e^{-kt}\leq5\iff e^{-kt}\leq\dfrac1{14}\iff t\geq\dfrac{\ln14}{k}\approx21{,}07$ min, soit environ $21$ min $4$ s.
La tangente en $0$ : $y=-70kt+90$ . Elle coupe $y=20$ si $-70kt+90=20$ , soit $t=\dfrac{70}{70k}=\dfrac1k\approx7{,}98$ min. (C'est la « constante de temps » du refroidissement.)