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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Retrouver l'équation à partir d'une solution

Dans chaque question, on cherche une équation différentielle de la forme $y'=ay+b$ ayant pour solution la fonction donnée.

Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $f : x\mapsto 2e^{3x}+1$ soit solution de $y'=ay+b$ .
Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $f : x\mapsto -e^{-2x}+4$ soit solution de $y'=ay+b$ .
Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $f : x\mapsto 3e^{\frac{1}{2}x}-2$ soit solution de $y'=ay+b$ .
Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $f : x\mapsto 5e^{-x}$ soit solution de $y'=ay+b$ .

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Retrouver l'équation à partir d'une solution

$f'(x)=6e^{3x}$ . D'autre part $af(x)+b=(2a)\,e^{3x}+(a+b)$ . Pour que $f'(x)=af(x)+b$ pour tout $x$ , on identifie : le coefficient de $e^{3x}$ donne $2a=6$ , soit $a=3$ ; la partie constante donne $(3)+b=0$ , soit $b=-3$ .
$f'(x)=2e^{-2x}$ . D'autre part $af(x)+b=(-a)\,e^{-2x}+(4a+b)$ . Pour que $f'(x)=af(x)+b$ pour tout $x$ , on identifie : le coefficient de $e^{-2x}$ donne $-a=2$ , soit $a=-2$ ; la partie constante donne $4(-2)+b=0$ , soit $b=8$ .
$f'(x)=\dfrac{3}{2}e^{\frac{1}{2}x}$ . D'autre part $af(x)+b=(3a)\,e^{\frac{1}{2}x}+(-2a+b)$ . Pour que $f'(x)=af(x)+b$ pour tout $x$ , on identifie : le coefficient de $e^{\frac{1}{2}x}$ donne $3a=\dfrac{3}{2}$ , soit $a=\dfrac{1}{2}$ ; la partie constante donne $-2(\dfrac{1}{2})+b=0$ , soit $b=1$ .
$f'(x)=-5e^{-x}$ . D'autre part $af(x)+b=(5a)\,e^{-x}+(b)$ . Pour que $f'(x)=af(x)+b$ pour tout $x$ , on identifie : le coefficient de $e^{-x}$ donne $5a=-5$ , soit $a=-1$ ; la partie constante donne $b=0$ , soit $b=0$ .