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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Second membre trigonométrique

On considère l'équation (E)(E) : y′=−2y+cos⁡xy'=-2y+\cos x sur R\mathbb{R}.

  1. Vérifier que g:x↦2cos⁡x+sin⁡x5g : x\mapsto\dfrac{2\cos x+\sin x}{5} est solution de (E)(E).

  2. Résoudre l'équation homogène y′=−2yy'=-2y.

  3. En déduire toutes les solutions de (E)(E).

  4. Déterminer la solution ff telle que f(0)=1f(0)=1.

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Second membre trigonométrique

  1. g′(x)=−2sin⁡x+cos⁡x5g'(x)=\dfrac{-2\sin x+\cos x}{5}. Par ailleurs −2g(x)+cos⁡x=−4cos⁡x−2sin⁡x5+5cos⁡x5=cos⁡x−2sin⁡x5-2g(x)+\cos x=\dfrac{-4\cos x-2\sin x}{5}+\dfrac{5\cos x}{5}=\dfrac{\cos x-2\sin x}{5}. Les deux expressions sont égales : gg est solution.

  2. Les solutions sont x↦Ce−2xx\mapsto Ce^{-2x}, C∈RC\in\mathbb{R}.

  3. x↦Ce−2x+2cos⁡x+sin⁡x5x\mapsto Ce^{-2x}+\dfrac{2\cos x+\sin x}{5}, C∈RC\in\mathbb{R}.

  4. f(0)=C+25=1f(0)=C+\dfrac25=1 donc C=35C=\dfrac35 et f(x)=35e−2x+2cos⁡x+sin⁡x5f(x)=\dfrac35e^{-2x}+\dfrac{2\cos x+\sin x}{5}.