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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Second membre exponentiel, cas a < 0

On cherche les solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ ; la solution générale de $(E)$ est la somme de la solution générale de $y'=ay$ et d'une solution particulière de $(E)$ .

Vérifier que $g : x\mapsto \dfrac{1}{2}e^{x}$ est solution de $(E)$ : $y'=-3y+2e^{x}$ .
Résoudre l'équation homogène $y'=-3y$ .
En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$ .
Déterminer la solution $f$ vérifiant $f(0)=0$ .

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Second membre exponentiel, cas a < 0

$g'(x)=1\times\left(\dfrac{1}{2}e^{x}\right)=\dfrac{1}{2}e^{x}$ et $-3\,g(x)+2e^{x}=-\dfrac{3}{2}e^{x}+2e^{x}=\dfrac{1}{2}e^{x}$ (car $-3\times\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{1}{2}$ ). Donc $g'=-3\,g+2e^{x}$ : $g$ est solution.
Les solutions sont $x\mapsto Ce^{-3x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$x\mapsto Ce^{-3x}+\dfrac{1}{2}e^{x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$f(0)=C+\dfrac{1}{2}=0$ donc $C=-\dfrac{1}{2}$ et $f(x)=-\dfrac{1}{2}e^{-3x}+\dfrac{1}{2}e^{x}$ .