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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Second membre polynomial (solution particulière donnée)

On cherche les solutions de l'équation $(E)$ sur $\mathbb{R}$ . On rappelle que la solution générale de $(E)$ est la somme de la solution générale de l'équation homogène $y'=ay$ et d'une solution particulière de $(E)$ .

Vérifier que la fonction $g : x\mapsto -3x-\dfrac{3}{2}$ est une solution particulière de $(E)$ : $y'=2y+6x$ .
Résoudre l'équation homogène $(E_0)$ : $y'=2y$ .
En déduire toutes les solutions de $(E)$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0)=1$ .

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Second membre polynomial (solution particulière donnée)

$g'(x)=-3$ . D'autre part $2\,g(x)+(6x)=2\left(-3x-\dfrac{3}{2}\right)+6x=-3$ . Les deux expressions sont égales pour tout $x$ : $g$ est solution de $(E)$ .
Les solutions de $(E_0)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{2x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{2x}+g(x)$ , soit $x\mapsto Ce^{2x}-3x-\dfrac{3}{2}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$f(0)=C+g(0)=C-\dfrac{3}{2}$ , donc $C-\dfrac{3}{2}=1$ et $C=\dfrac{5}{2}$ . Ainsi $f(x)=\dfrac{5}{2}e^{2x}-3x-\dfrac{3}{2}$ .