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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Solution constante et comportement en +∞ (a > 0)

On résout des équations différentielles sur R\mathbb{R}. Rappel : les solutions de y′=ayy'=ay sont les fonctions x↦Ceaxx\mapsto Ce^{ax} (C∈RC\in\mathbb{R}) ; celles de y′=ay+by'=ay+b (a≠0a\neq0) sont les fonctions x↦Ceax−bax\mapsto Ce^{ax}-\dfrac ba.

  1. On considère (E)(E) : y′=2y−6y'=2y-6. Déterminer sa solution constante, puis la solution ff telle que f(0)=5f(0)=5, et enfin lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).

  2. On considère (E)(E) : y′=y+2y'=y+2. Déterminer sa solution constante, puis la solution ff telle que f(0)=0f(0)=0, et enfin lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).

  3. On considère (E)(E) : y′=12y−1y'=\dfrac{1}{2}y-1. Déterminer sa solution constante, puis la solution ff telle que f(0)=1f(0)=1, et enfin lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).

  4. On considère (E)(E) : y′=3y+6y'=3y+6. Déterminer sa solution constante, puis la solution ff telle que f(0)=−2f(0)=-2, et enfin lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Solution constante et comportement en +∞ (a > 0)

  1. Une solution constante y=ky=k vérifie 0=ak+b0=ak+b, soit k=−ba=3k=-\dfrac ba=3. Les solutions sont Ce2x+3Ce^{2x}+3 ; f(0)=5f(0)=5 donne C=5−3=2C=5-3=2 : f(x)=2e2x+3f(x)=2e^{2x}+3. Comme a>0a>0 et C=2>0C=2>0, e2x→+∞e^{2x}\to+\infty donc lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty : la solution s'éloigne de l'équilibre.

  2. Une solution constante y=ky=k vérifie 0=ak+b0=ak+b, soit k=−ba=−2k=-\dfrac ba=-2. Les solutions sont Cex−2Ce^{x}-2 ; f(0)=0f(0)=0 donne C=0+2=2C=0+2=2 : f(x)=2ex−2f(x)=2e^{x}-2. Comme a>0a>0 et C=2>0C=2>0, ex→+∞e^{x}\to+\infty donc lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty : la solution s'éloigne de l'équilibre.

  3. Une solution constante y=ky=k vérifie 0=ak+b0=ak+b, soit k=−ba=2k=-\dfrac ba=2. Les solutions sont Ce12x+2Ce^{\frac{1}{2}x}+2 ; f(0)=1f(0)=1 donne C=1−2=−1C=1-2=-1 : f(x)=−e12x+2f(x)=-e^{\frac{1}{2}x}+2. Comme a>0a>0 et C=−1<0C=-1<0, lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty : la solution s'éloigne de l'équilibre.

  4. Une solution constante y=ky=k vérifie 0=ak+b0=ak+b, soit k=−ba=−2k=-\dfrac ba=-2. Les solutions sont Ce3x−2Ce^{3x}-2 ; f(0)=−2f(0)=-2 donne C=−2+2=0C=-2+2=0 : f(x)=−2f(x)=-2. La solution ff est la solution constante elle-même : elle reste à l'équilibre et lim⁡x→+∞f(x)=−2\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-2. (Avec une autre condition initiale, par exemple f(0)=−3f(0)=-3, on aurait C=−1<0C=-1<0 et lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty : la solution s'éloignerait de l'équilibre.)