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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Réécrire puis imposer une condition initiale

On résout des équations différentielles sur $\mathbb{R}$ . Rappel : les solutions de $y'=ay$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}$ ( $C\in\mathbb{R}$ ) ; celles de $y'=ay+b$ ( $a\neq0$ ) sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}-\dfrac ba$ .

Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $y'+3y=6$ qui vérifie $f(0)=0$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $2y'=y-4$ qui vérifie $f(0)=1$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $y'-y=3$ qui vérifie $f(0)=2$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $4y'+y=2$ qui vérifie $f(0)=-1$ .

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Réécrire puis imposer une condition initiale

$(E)$ s'écrit $y'=-3y+6$ . Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-3x}+2$ , $C\in\mathbb{R}$ . La condition $f(0)=0$ donne $C+2=0$ , d'où $C=0-2=-2$ . Donc $f(x)=-2e^{-3x}+2$ .
$(E)$ s'écrit $y'=\dfrac{1}{2}y-2$ . Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{\frac{1}{2}x}+4$ , $C\in\mathbb{R}$ . La condition $f(0)=1$ donne $C+4=1$ , d'où $C=1-4=-3$ . Donc $f(x)=-3e^{\frac{1}{2}x}+4$ .
$(E)$ s'écrit $y'=y+3$ . Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{x}-3$ , $C\in\mathbb{R}$ . La condition $f(0)=2$ donne $C-3=2$ , d'où $C=2+3=5$ . Donc $f(x)=5e^{x}-3$ .
$(E)$ s'écrit $y'=-\dfrac{1}{4}y+\dfrac{1}{2}$ . Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-\frac{1}{4}x}+2$ , $C\in\mathbb{R}$ . La condition $f(0)=-1$ donne $C+2=-1$ , d'où $C=-1-2=-3$ . Donc $f(x)=-3e^{-\frac{1}{4}x}+2$ .