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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Condition initiale en 1 (équation y' = ay)

On résout des équations différentielles sur $\mathbb{R}$ . Rappel : les solutions de $y'=ay$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}$ ( $C\in\mathbb{R}$ ) ; celles de $y'=ay+b$ ( $a\neq0$ ) sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}-\dfrac ba$ .

Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $y'=2y$ qui vérifie $f(1)=1$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $y'=-y$ qui vérifie $f(1)=3$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $y'=3y$ qui vérifie $f(1)=-2$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $y'=-2y$ qui vérifie $f(1)=4$ .

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Condition initiale en 1 (équation y' = ay)

Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{2x}$ , $C\in\mathbb{R}$ . En posant $K=Ce^{2}$ , les solutions s'écrivent aussi $Ke^{2(x-1)}$ . La condition $f(1)=1$ donne directement $K=1$ . Donc $f(x)=e^{2(x-1)}$ .
Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-x}$ , $C\in\mathbb{R}$ . En posant $K=Ce^{-1}$ , les solutions s'écrivent aussi $Ke^{-(x-1)}$ . La condition $f(1)=3$ donne directement $K=3$ . Donc $f(x)=3e^{-(x-1)}$ .
Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{3x}$ , $C\in\mathbb{R}$ . En posant $K=Ce^{3}$ , les solutions s'écrivent aussi $Ke^{3(x-1)}$ . La condition $f(1)=-2$ donne directement $K=-2$ . Donc $f(x)=-2e^{3(x-1)}$ .
Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-2x}$ , $C\in\mathbb{R}$ . En posant $K=Ce^{-2}$ , les solutions s'écrivent aussi $Ke^{-2(x-1)}$ . La condition $f(1)=4$ donne directement $K=4$ . Donc $f(x)=4e^{-2(x-1)}$ .