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Niveau 2 — Combinatoire et dénombrement — 25 min

Preuves par dénombrement

Pour tous entiers $0\leq k\leq n$ , $\dbinom nk$ désigne le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.

Montrer que $\dbinom nk=\dbinom n{n-k}$ (symétrie) en établissant une bijection entre deux ensembles de parties. Calculer $\dbinom{12}{10}$ .
Montrer que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom nk=2^n$ .
Montrer que $k\dbinom nk=n\dbinom{n-1}{k-1}$ pour $1\leq k\leq n$ en comptant de deux façons les couples (comité de $k$ personnes, président). Vérifier avec $n=8$ , $k=3$ .
Pour $n\geq1$ , montrer que le nombre de parties de cardinal pair est égal au nombre de parties de cardinal impair. En déduire leur valeur commune.
Montrer que $\dbinom n2+\dbinom{n+1}2=n^2$ pour $n\geq1$ . Vérifier avec $n=5$ .

Niveau 2 — Combinatoire et dénombrement — 25 min

Corrigé — Preuves par dénombrement

L'application qui à une partie $A$ de $E$ à $k$ éléments associe son complémentaire (à $n-k$ éléments) est une bijection entre les parties à $k$ éléments et celles à $n-k$ éléments. Donc $\dbinom nk=\dbinom n{n-k}$ . Ainsi $\dbinom{12}{10}=\dbinom{12}{2}=66$ .
Les parties de $E$ sont classées selon leur cardinal $k\in\{0,\dots,n\}$ : il y en a $\sum_{k=0}^n\dbinom nk$ . Par ailleurs, chaque élément est dans la partie ou non : $2^n$ parties. D'où l'égalité.
Comité puis président : $\dbinom nk\times k$ . Président puis les $k-1$ autres membres : $n\times\dbinom{n-1}{k-1}$ . D'où l'égalité. Pour $n=8,k=3$ : $3\times56=168$ et $8\times\dbinom72=8\times21=168$ ✓.
Soit $a\in E$ . L'application qui à une partie $A$ associe $A\setminus\{a\}$ si $a\in A$ et $A\cup\{a\}$ sinon change la parité du cardinal et est une bijection de l'ensemble des parties sur lui-même (c'est une involution). Il y a donc autant de parties de cardinal pair que de cardinal impair, soit $\dfrac{2^n}{2}=2^{n-1}$ chacune.
$\dfrac{n(n-1)}{2}+\dfrac{(n+1)n}{2}=\dfrac{n\left[(n-1)+(n+1)\right]}{2}=\dfrac{n\times2n}{2}=n^2$ . Pour $n=5$ : $10+15=25$ ✓.