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Niveau 2 — Combinatoire et dénombrement — 25 min

Segments, diagonales et triangles d'un décagone

Un décagone convexe possède 1010 sommets. On s'intéresse aux segments et triangles dont les sommets sont des sommets du décagone.

  1. Combien de segments joignent deux sommets du décagone ? En déduire le nombre de diagonales.

  2. Combien de triangles ont leurs trois sommets parmi ceux du décagone ?

  3. Combien de ces triangles ont exactement deux côtés qui sont des côtés du décagone ?

  4. Combien de ces triangles ont exactement un côté commun avec le décagone ? Combien n'en ont aucun ?

  5. Si trois diagonales ne sont jamais concourantes à l'intérieur, combien de points d'intersection intérieurs les diagonales forment-elles ?

Niveau 2 — Combinatoire et dénombrement — 25 min

Corrigé — Segments, diagonales et triangles d'un décagone

  1. (102)=45\dbinom{10}{2}=45 segments, dont 1010 côtés : 45−10=3545-10=35 diagonales.

  2. (103)=120\dbinom{10}{3}=120.

  3. Trois sommets consécutifs : 1010 triangles (autant que de choix du sommet « central »).

  4. Un côté : 1010 choix, troisième sommet parmi 10−2−2=610-2-2=6 sommets non voisins : 10×6=6010\times6=60. Aucun côté commun : 120−10−60=50120-10-60=50.

  5. Chaque choix de 44 sommets définit un quadrilatère convexe dont les diagonales se coupent en un point : (104)=210\dbinom{10}{4}=210.