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Niveau 2 — Combinatoire et dénombrement — 25 min

Chemins sur un quadrillage

Sur un quadrillage, un chemin va de $O(0\,;\,0)$ à $M(5\,;\,3)$ en ne faisant que des pas d'une unité vers la droite (D) ou vers le haut (H).

Montrer qu'un chemin est une suite de $8$ pas dont on doit choisir les $3$ pas « H ». En déduire le nombre de chemins.
Combien de chemins passent par le point $A(2\,;\,1)$ ?
Combien de chemins ne passent pas par $A$ ?
Combien de chemins passent à la fois par $A(2\,;\,1)$ et par $B(4\,;\,2)$ ?
Même question pour un chemin de $O$ à $N(4\,;\,4)$ : combien y en a-t-il ?

Niveau 2 — Combinatoire et dénombrement — 25 min

Corrigé — Chemins sur un quadrillage

Un chemin comporte $5$ pas D et $3$ pas H, soit $8$ pas. Il est déterminé par la position des $3$ pas H parmi les $8$ : $\dbinom83=56$ chemins.
De $O$ à $A$ (2 D, 1 H) : $\dbinom31=3$ . De $A$ à $M$ (3 D, 2 H) : $\dbinom52=10$ . Total : $3\times10=30$ .
$56-30=26$ .
$O\to A$ : $3$ . $A\to B$ (2 D, 1 H) : $\dbinom31=3$ . $B\to M$ (1 D, 1 H) : $\dbinom21=2$ . Total : $3\times3\times2=18$ .
$8$ pas dont $4$ pas H : $\dbinom84=70$ .