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Niveau 2 — Convexité — 20 min

Tableau de signes de f''

On donne le tableau de signes de la dérivée seconde f′′f'' d'une fonction ff définie et deux fois dérivable sur R\mathbb{R} :

xx−∞-\infty−2-21133+∞+\infty
f′′(x)f''(x)++00−-00−-00++

  1. Sur quels intervalles ff est-elle convexe ? concave ?

  2. Quels sont les points d'inflexion de Cf\mathcal{C}_f ? Que dire du point d'abscisse 11 ?

  3. Donner les variations de f′f'.

  4. La tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d'abscisse 11 traverse-t-elle la courbe ? Préciser la position de la courbe par rapport à cette tangente au voisinage de 11.

  5. On sait que f′f' est continue, que lim⁡x→−∞f′(x)=−3\lim\limits_{x\to-\infty}f'(x)=-3, f′(−2)=4f'(-2)=4, f′(3)=−1f'(3)=-1 et lim⁡x→+∞f′(x)=2\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=2. Combien de solutions l'équation f′(x)=0f'(x)=0 admet-elle ?

Niveau 2 — Convexité — 20 min

Corrigé — Tableau de signes de f''

  1. f′′≥0f''\geq0 sur ]−∞ ; −2]]-\infty\,;\,-2] et sur [3 ; +∞[[3\,;\,+\infty[ : ff y est convexe. f′′≤0f''\leq0 sur [−2 ; 3][-2\,;\,3] (le signe reste négatif de part et d'autre de 11) : ff y est concave.

  2. f′′f'' s'annule en −2-2, 11 et 33. Elle change de signe en −2-2 et en 33, mais pas en 11 : les points d'abscisses −2-2 et 33 sont des points d'inflexion, pas celui d'abscisse 11.

  3. f′′>0f''>0 sur ]−∞ ; −2[]-\infty\,;\,-2[ : f′f' est croissante ; f′′<0f''<0 sur ]−2 ; 3[]-2\,;\,3[ (sauf en 11) : f′f' est décroissante ; f′′>0f''>0 sur ]3 ; +∞[]3\,;\,+\infty[ : f′f' est croissante. f′f' est donc croissante sur ]−∞ ; −2]]-\infty\,;\,-2], décroissante sur [−2 ; 3][-2\,;\,3], croissante sur [3 ; +∞[[3\,;\,+\infty[.

  4. Autour de 11 la fonction ff est concave (car f′′<0f''<0 des deux côtés de 11) : la courbe reste en dessous de sa tangente en 11 sans la traverser, et 11 n'est pas un point d'inflexion.

    • Sur ]−∞ ; −2]]-\infty\,;\,-2] : f′f' est strictement croissante de −3-3 à 44 ; 0∈]−3 ; 4]0\in]-3\,;\,4] : une solution.
    • Sur [−2 ; 3][-2\,;\,3] : f′f' est strictement décroissante de 44 à −1-1 ; 0∈[−1 ; 4]0\in[-1\,;\,4] : une solution.
    • Sur [3 ; +∞[[3\,;\,+\infty[ : f′f' est strictement croissante de −1-1 à 22 ; 0∈[−1 ; 2[0\in[-1\,;\,2[ : une solution.

    L'équation f′(x)=0f'(x)=0 a donc trois solutions : ff possède trois extrema.