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Niveau 2 — Convexité — 20 min

Convexité et paramètres

Dans chaque question, $a$ , $b$ , $c$ désignent des réels à déterminer.

Soit $f(x)=x^3+ax^2+x$ où $a$ est un réel. Déterminer $a$ pour que la courbe de $f$ admette un point d'inflexion d'abscisse $1$ .
Soit $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ . Déterminer $a$ , $b$ , $c$ sachant que $\mathcal{C}_f$ passe par $(0\,;\,1)$ et admet le point $I(1\,;\,2)$ pour point d'inflexion.
Soit $f(x)=e^x-ax^2$ sur $\mathbb{R}$ . Pour quelles valeurs de $a$ la fonction $f$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ?
Soit $f(x)=x^2+a\ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$ avec $a=8$ . Étudier la convexité de $f$ et préciser le point d'inflexion.
Soit $f(x)=x^4+ax^3$ . Déterminer $a$ pour que $\mathcal{C}_f$ admette un point d'inflexion d'abscisse $-1$ . Quel est alors l'autre point d'inflexion ?

Niveau 2 — Convexité — 20 min

Corrigé — Convexité et paramètres

$f''(x)=6x+2a$ . On veut $f''(1)=0$ : $6+2a=0$ , soit $a=-3$ . Alors $f''(x)=6x-6=6(x-1)$ change bien de signe en $1$ : c'est un point d'inflexion.
$f(0)=c=1$ . $f''(x)=6x+2a$ et $f''(1)=0$ donne $a=-3$ . $f(1)=1+a+b+c=1-3+b+1=b-1=2$ donne $b=3$ .

Ainsi $f(x)=x^3-3x^2+3x+1=(x-1)^3+2$ . Vérification : $f''(x)=6(x-1)$ change de signe en $1$ .
$f''(x)=e^x-2a$ . $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $e^x-2a\geq0$ pour tout $x$ , c'est-à-dire $e^x\geq2a$ pour tout $x$ . Comme $e^x$ prend des valeurs arbitrairement proches de $0$ (mais positives), cela équivaut à $2a\leq0$ , soit $a\leq0$ .
$f''(x)=2-\dfrac{8}{x^2}=\dfrac{2(x^2-4)}{x^2}$ , du signe de $x^2-4$ sur $]0\,;\,+\infty[$ : négatif pour $0<x<2$ , positif pour $x>2$ .

$f$ est concave sur $]0\,;\,2]$ et convexe sur $[2\,;\,+\infty[$ . Le point d'inflexion est $\left(2\,;\,f(2)\right)=(2\,;\,4+8\ln2)$ .
$f''(x)=12x^2+6ax=6x(2x+a)$ s'annule en $0$ et en $-\dfrac a2$ . Pour avoir $-\dfrac a2=-1$ : $a=2$ . Alors $f''(x)=12x(x+1)$ , positif pour $x<-1$ ou $x>0$ , négatif entre : les deux zéros sont des points d'inflexion.

L'autre point d'inflexion a pour abscisse $0$ : c'est l'origine $O(0\,;\,0)$ .