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Niveau 2 — Convexité — 20 min

Convexité : vrai ou faux

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation fausse doit être justifiée.

Affirmation. Si $f$ est convexe sur un intervalle $I$ , alors sa dérivée $f'$ est croissante sur $I$ .

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Si elle est fausse, justifier.
Affirmation. Si $f''(a)=0$ , alors la courbe de $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $a$ .

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Si elle est fausse, justifier.
Affirmation. Si $f$ est convexe sur $I$ , sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$ .

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Si elle est fausse, justifier.
Affirmation. La somme de deux fonctions convexes sur $I$ est convexe sur $I$ .

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Si elle est fausse, justifier.
Affirmation. Le produit de deux fonctions convexes sur $\mathbb{R}$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Si elle est fausse, justifier.

Niveau 2 — Convexité — 20 min

Corrigé — Convexité : vrai ou faux

Vraie. C'est la caractérisation de la convexité (pour $f$ dérivable) : $f$ convexe $\iff f'$ croissante.
Fausse. Il faut que $f''$ change de signe en $a$ . Contre-exemple : $f(x)=x^4$ , $f''(x)=12x^2$ s'annule en $0$ mais reste positive : $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ et $O$ n'est pas un point d'inflexion.
Vraie. C'est la propriété caractéristique de la convexité d'une fonction dérivable.
Vraie. Si $f''\geq0$ et $g''\geq0$ alors $(f+g)''=f''+g''\geq0$ .
Fausse. Contre-exemple : $f(x)=x$ (affine, donc convexe) et $g(x)=e^x$ (convexe) mais $h(x)=x\,e^x$ a pour dérivée seconde $h''(x)=(x+2)e^x$ , négative pour $x<-2$ : $h$ n'est pas convexe sur $\mathbb{R}$ .