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Niveau 2 — Convexité — 20 min

Inégalités obtenues par convexité

Dans chaque question, on étudie la convexité d'une fonction pour en déduire une inégalité.

Soit $f(x)=e^x$ . Déterminer la tangente à sa courbe au point d'abscisse $1$ et en déduire que $e^x\geq e\,x$ pour tout réel $x$ .
Soit $f(x)=\ln(1+x)$ définie sur $]-1\,;\,+\infty[$ . Montrer que $f$ est concave et en déduire que $\ln(1+x)\leq x$ pour tout $x>-1$ .
Soit $f(x)=\sqrt{1+x}$ sur $]-1\,;\,+\infty[$ . Montrer que $\sqrt{1+x}\leq1+\dfrac x2$ .
Soit $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$ sur $]-1\,;\,+\infty[$ . Montrer que $\dfrac{1}{1+x}\geq1-x$ .
Soit $f(x)=x\ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$ . Montrer que $x\ln x\geq x-1$ .

Niveau 2 — Convexité — 20 min

Corrigé — Inégalités obtenues par convexité

$f(1)=e$ et $f'(1)=e$ : la tangente est $y=e(x-1)+e=e\,x$ .

$f''(x)=e^x>0$ : $f$ est convexe, sa courbe est au-dessus de ses tangentes. Donc $e^x\geq e\,x$ pour tout réel $x$ .
$f'(x)=\dfrac1{1+x}$ et $f''(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}<0$ : $f$ est concave. La tangente en $0$ est $y=f'(0)\,x+f(0)=x$ (car $f(0)=0$ , $f'(0)=1$ ).

La courbe est sous sa tangente : $\ln(1+x)\leq x$ pour tout $x>-1$ .
$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}$ et $f''(x)=-\dfrac{1}{4(1+x)\sqrt{1+x}}<0$ : $f$ est concave. La tangente en $0$ est $y=\dfrac12x+1$ (car $f(0)=1$ et $f'(0)=\dfrac12$ ). La courbe est sous sa tangente : $\sqrt{1+x}\leq1+\dfrac x2$ .
$f'(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}$ et $f''(x)=\dfrac{2}{(1+x)^3}>0$ : $f$ est convexe. La tangente en $0$ est $y=-x+1$ ( $f(0)=1$ , $f'(0)=-1$ ). La courbe est au-dessus : $\dfrac1{1+x}\geq1-x$ .
$f'(x)=\ln x+1$ et $f''(x)=\dfrac1x>0$ : $f$ est convexe. La tangente en $1$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)=1\times(x-1)+0=x-1$ . La courbe est au-dessus : $x\ln x\geq x-1$ .