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Niveau 2 — Convexité — 25 min

Dérivée seconde de fonctions composées

Dans chaque question, on calcule $f''$ et on en déduit la convexité de $f$ sur l'ensemble indiqué.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2+x)e^{-x}$ . Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ , étudier le signe de $f''$ et en déduire la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln(x^2+4)$ . Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ , étudier le signe de $f''$ et en déduire la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2e^{x}$ . Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ , étudier le signe de $f''$ et en déduire la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Soit $f$ la fonction définie sur $]-1\,;\,+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+1}$ . Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ , étudier le signe de $f''$ et en déduire la convexité de $f$ sur $]-1\,;\,+\infty[$ .
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4-4x^3+6x^2$ . Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ , étudier le signe de $f''$ et en déduire la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Niveau 2 — Convexité — 25 min

Corrigé — Dérivée seconde de fonctions composées

$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ . $f'(x)=(-x^2+x+1)e^{-x}$ et $f''(x)=x(x-3)e^{-x}$ .

$e^{-x}>0$ , donc $f''(x)$ a le signe de $x(x-3)$ (trinôme de coefficient dominant positif) : positif pour $x<0$ ou $x>3$ , négatif pour $0<x<3$ .

$f$ est convexe sur $]-\infty\,;\,0]$ et sur $[3\,;\,+\infty[$ , concave sur $[0\,;\,3]$ : deux points d'inflexion, d'abscisses $0$ et $3$ .
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ . $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+4}$ et $f''(x)=\dfrac{2(4-x^2)}{(x^2+4)^2}$ .

Le dénominateur $(x^2+4)^2$ est positif : $f''(x)$ a le signe de $4-x^2=(2-x)(2+x)$ : positif pour $-2<x<2$ , négatif sinon.

$f$ est concave sur $]-\infty\,;\,-2]$ et sur $[2\,;\,+\infty[$ , convexe sur $[-2\,;\,2]$ : deux points d'inflexion, d'abscisses $-2$ et $2$ .
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ . $f'(x)=(x^2+2x)e^{x}$ et $f''(x)=(x^2+4x+2)e^{x}$ .

$e^x>0$ : le signe de $f''$ est celui de $x^2+4x+2$ , de discriminant $8$ et de racines $-2-\sqrt2$ et $-2+\sqrt2$ ( $\approx-3{,}41$ et $-0{,}59$ ). Positif à l'extérieur des racines.

$f$ est convexe sur $]-\infty\,;\,-2-\sqrt2]$ et sur $[-2+\sqrt2\,;\,+\infty[$ , concave entre les deux racines : deux points d'inflexion.
$f$ est deux fois dérivable sur $]-1\,;\,+\infty[$ . $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$ et $f''(x)=-\dfrac{1}{4(x+1)\sqrt{x+1}}$ .

Pour $x>-1$ , $(x+1)\sqrt{x+1}>0$ donc $f''(x)<0$ .

$f$ est concave sur $]-1\,;\,+\infty[$ et $\mathcal{C}_f$ n'a pas de point d'inflexion.
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ . $f'(x)=4x^3-12x^2+12x$ et $f''(x)=12x^2-24x+12=12(x-1)^2$ .

$f''(x)=12(x-1)^2\geq0$ pour tout réel $x$ , avec $f''(1)=0$ mais sans changement de signe.

$f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ . Bien que $f''(1)=0$ , le point d'abscisse $1$ n'est pas un point d'inflexion : $f''$ ne change pas de signe en $1$ .