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Niveau 2 — Convexité — 25 min

Courbe de f : extrema, inflexion et tangente

On a représenté ci-dessous la courbe Cf\mathcal{C}_f d'une fonction ff définie et deux fois dérivable sur R\mathbb{R}, ainsi que sa tangente au point II (en pointillés).

Courbe C_f passant par les points (0 ; 0), (1 ; 4) maximum local, (2 ; 2), (3 ; 0) minimum local et (4 ; 4) ; la tangente en pointillés au point I(2 ; 2) passe par les points (1 ; 5) et (3 ; -1).

  1. Lire graphiquement les coordonnées des points de Cf\mathcal{C}_f où la tangente est horizontale.

  2. Dresser le tableau de signes de f′f' à partir de la courbe.

  3. Sur quels intervalles ff semble-t-elle concave ? convexe ? Quel point II de Cf\mathcal{C}_f est un point d'inflexion ?

  4. La droite en pointillés est la tangente TT en II. Elle passe par les points (1 ; 5)(1\,;\,5) et (3 ; −1)(3\,;\,-1). Déterminer f′(2)f'(2) et l'équation de TT.

  5. On admet que f(x)=x3−6x2+9xf(x)=x^3-6x^2+9x. Calculer f′(x)f'(x) et f′′(x)f''(x) et vérifier les lectures précédentes (extrema, point d'inflexion).

Niveau 2 — Convexité — 25 min

Corrigé — Courbe de f : extrema, inflexion et tangente

  1. La courbe admet une tangente horizontale en (1 ; 4)(1\,;\,4) (maximum local) et en (3 ; 0)(3\,;\,0) (minimum local).

  2. ff est croissante sur ]−∞ ; 1]]-\infty\,;\,1], décroissante sur [1 ; 3][1\,;\,3], croissante sur [3 ; +∞[[3\,;\,+\infty[. Donc f′>0f'>0 sur ]−∞ ; 1[]-\infty\,;\,1[, f′<0f'<0 sur ]1 ; 3[]1\,;\,3[, f′>0f'>0 sur ]3 ; +∞[]3\,;\,+\infty[.

    xx−∞-\infty1133+∞+\infty
    f′(x)f'(x)++00−-00++

  3. La courbe est en dessous de ses tangentes jusqu'au point I(2 ; 2)I(2\,;\,2) : ff est concave sur ]−∞ ; 2]]-\infty\,;\,2]. Elle est au-dessus au-delà : ff est convexe sur [2 ; +∞[[2\,;\,+\infty[. Le point d'inflexion est I(2 ; 2)I(2\,;\,2).

  4. Coefficient directeur : −1−53−1=−3\dfrac{-1-5}{3-1}=-3, donc f′(2)=−3f'(2)=-3. TT passe par I(2 ; 2)I(2\,;\,2) : y=−3(x−2)+2=−3x+8y=-3(x-2)+2=-3x+8.

  5. f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3), qui s'annule en 11 et 33 ; f(1)=4f(1)=4 et f(3)=0f(3)=0 ✓.

    f′′(x)=6x−12=6(x−2)f''(x)=6x-12=6(x-2), qui s'annule en changeant de signe en 22 ; f(2)=8−24+18=2f(2)=8-24+18=2 et f′(2)=12−24+9=−3f'(2)=12-24+9=-3 ✓ : le point d'inflexion est I(2 ; 2)I(2\,;\,2) et la tangente est y=−3x+8y=-3x+8.