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Niveau 2 — Convexité — 25 min

Courbe de f' : variations de f, convexité et points d'inflexion

On a représenté ci-dessous la courbe de la dérivée f′f' d'une fonction ff définie et deux fois dérivable sur R\mathbb{R}.

Courbe représentative de la dérivée f' (fonction impaire de type cubique) coupant l'axe des abscisses en x=-2, x=0 et x=2 ; maximum local d'ordonnée environ 3 pour x environ -1,15 et minimum local d'ordonnée environ -3 pour x environ 1,15.

  1. Lire graphiquement les solutions de f′(x)=0f'(x)=0 et en déduire le tableau de signes de f′f'.

  2. En déduire les variations de ff et la nature des points de Cf\mathcal{C}_f d'abscisses −2-2, 00 et 22.

  3. Lire les variations de f′f' : sur quels intervalles f′f' est-elle croissante ? décroissante ? (on donnera les abscisses des extrema de f′f' avec une valeur approchée à 0,10{,}1 près).

  4. En déduire la convexité de ff et le nombre de points d'inflexion de Cf\mathcal{C}_f.

  5. On admet que f′(x)=x3−4xf'(x)=x^3-4x. Calculer f′′(x)f''(x) et retrouver les abscisses exactes des points d'inflexion.

Niveau 2 — Convexité — 25 min

Corrigé — Courbe de f' : variations de f, convexité et points d'inflexion

  1. f′(x)=0f'(x)=0 en x=−2x=-2, x=0x=0 et x=2x=2. D'après la courbe : f′<0f'<0 sur ]−∞ ; −2[]-\infty\,;\,-2[, f′>0f'>0 sur ]−2 ; 0[]-2\,;\,0[, f′<0f'<0 sur ]0 ; 2[]0\,;\,2[ et f′>0f'>0 sur ]2 ; +∞[]2\,;\,+\infty[.

    xx−∞-\infty−2-20022+∞+\infty
    f′(x)f'(x)−-00++00−-00++

  2. ff est décroissante sur ]−∞ ; −2]]-\infty\,;\,-2], croissante sur [−2 ; 0][-2\,;\,0], décroissante sur [0 ; 2][0\,;\,2] puis croissante sur [2 ; +∞[[2\,;\,+\infty[. ff admet donc un minimum local en −2-2, un maximum local en 00 et un minimum local en 22.

  3. La courbe de f′f' présente un maximum local pour x≈−1,2x\approx-1{,}2 et un minimum local pour x≈1,2x\approx1{,}2. Donc f′f' est croissante sur ]−∞ ; −1,2]]-\infty\,;\,-1{,}2], décroissante sur [−1,2 ; 1,2][-1{,}2\,;\,1{,}2] et croissante sur [1,2 ; +∞[[1{,}2\,;\,+\infty[.

  4. f′f' croissante ⇒\Rightarrow ff convexe ; f′f' décroissante ⇒\Rightarrow ff concave. Donc ff est convexe sur ]−∞ ; −1,2]]-\infty\,;\,-1{,}2], concave sur [−1,2 ; 1,2][-1{,}2\,;\,1{,}2] et convexe sur [1,2 ; +∞[[1{,}2\,;\,+\infty[. La convexité change deux fois : Cf\mathcal{C}_f admet deux points d'inflexion.

  5. f′′(x)=3x2−4f''(x)=3x^2-4. f′′(x)=0  ⟺  x2=43  ⟺  x=±23=±233≈±1,15f''(x)=0\iff x^2=\dfrac43\iff x=\pm\dfrac{2}{\sqrt3}=\pm\dfrac{2\sqrt3}{3}\approx\pm1{,}15.

    f′′f'' est un trinôme de coefficient dominant positif : positif à l'extérieur des racines, négatif entre, en changeant de signe : ce sont bien deux points d'inflexion, cohérents avec la lecture graphique.