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Niveau 2 — Convexité — 20 min

Tableau de f' : point d'inflexion et tangente

On donne le tableau de variations de la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ :

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f'$	$+\infty$	$\searrow$	$1$	$\nearrow$	$+\infty$

Étudier la convexité de $f$ .
Justifier que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
On donne $f(0)=-1$ . Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion et déterminer l'équation de la tangente $T$ en ce point.
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ .
En déduire le signe de $f(x)-x+1$ selon les valeurs de $x$ , et montrer que $f(1)\geq0$ .

Niveau 2 — Convexité — 20 min

Corrigé — Tableau de f' : point d'inflexion et tangente

$f'$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ : $f$ est concave sur cet intervalle. $f'$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ : $f$ y est convexe.
D'après le tableau, $f'$ admet un minimum égal à $1$ en $x=0$ . Donc $f'(x)\geq1>0$ pour tout réel $x$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
La convexité change en $x=0$ : le point $I(0\,;\,-1)$ est un point d'inflexion. $f'(0)=1$ (minimum du tableau), donc $T : y=1\times(x-0)-1=x-1$ .
Sur $]-\infty\,;\,0]$ , $f$ est concave : $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T$ . Sur $[0\,;\,+\infty[$ , $f$ est convexe : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$ . $\mathcal{C}_f$ traverse sa tangente en $I$ .
$f(x)-(x-1)=f(x)-x+1$ est l'écart entre $\mathcal{C}_f$ et $T$ : négatif ou nul pour $x\leq0$ , positif ou nul pour $x\geq0$ .

En $x=1$ : $f(1)-1+1\geq0$ , c'est-à-dire $f(1)\geq0$ .