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Niveau 2 — Convexité — 20 min

Tableau de f' : convexité, zéro de f' et variations de f

On donne le tableau de variations de la dérivée f′f' d'une fonction ff définie et deux fois dérivable sur R\mathbb{R} :

xx−∞-\infty−1-111+∞+\infty
f′f'00↘\searrow−2-2↗\nearrow33↘\searrow11

  1. Déterminer les intervalles sur lesquels ff est convexe, puis ceux sur lesquels elle est concave.

  2. Combien la courbe Cf\mathcal{C}_f a-t-elle de points d'inflexion ? Donner leurs abscisses.

  3. Montrer que l'équation f′(x)=0f'(x)=0 admet une unique solution cc, et que c∈]−1 ; 1[c\in]-1\,;\,1[.

  4. En déduire le signe de f′f' puis les variations de ff.

  5. La fonction ff admet-elle un extremum ? Est-elle convexe ou concave au voisinage de l'abscisse de cet extremum ?

Niveau 2 — Convexité — 20 min

Corrigé — Tableau de f' : convexité, zéro de f' et variations de f

  1. f′f' est décroissante sur ]−∞ ; −1]]-\infty\,;\,-1] et sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[ : ff y est concave. f′f' est croissante sur [−1 ; 1][-1\,;\,1] : ff y est convexe.

  2. La convexité change en x=−1x=-1 (concave →\to convexe) et en x=1x=1 (convexe →\to concave) : deux points d'inflexion, d'abscisses −1-1 et 11.

  3. f′f' est continue (car ff est deux fois dérivable).

    • Sur ]−∞ ; −1]]-\infty\,;\,-1] : f′f' est strictement décroissante de 00 (limite, non atteinte) à −2-2 : elle prend des valeurs dans [−2 ; 0[[-2\,;\,0[, jamais 00.
    • Sur [−1 ; 1][-1\,;\,1] : f′f' est strictement croissante de −2-2 à 33 et 0∈[−2 ; 3]0\in[-2\,;\,3] : une unique solution cc, avec c∈]−1 ; 1[c\in]-1\,;\,1[.
    • Sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[ : f′f' est strictement décroissante de 33 à 11 : elle prend des valeurs dans ]1 ; 3]]1\,;\,3], jamais 00.

    L'équation f′(x)=0f'(x)=0 a donc une unique solution c∈]−1 ; 1[c\in]-1\,;\,1[.

  4. Sur ]−∞ ; c[]-\infty\,;\,c[, f′<0f'<0 (elle est négative sur ]−∞ ; −1]]-\infty\,;\,-1] et croît de −2-2 à 00 sur [−1 ; c[[-1\,;\,c[). Sur ]c ; +∞[]c\,;\,+\infty[, f′>0f'>0 (elle est positive après cc jusqu'à 11, puis supérieure à 11 sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[).

    Donc ff est strictement décroissante sur ]−∞ ; c]]-\infty\,;\,c] et strictement croissante sur [c ; +∞[[c\,;\,+\infty[.

  5. f′f' change de signe de −- à ++ en cc : ff admet un minimum en cc (atteint en x=cx=c). Comme c∈]−1 ; 1[c\in]-1\,;\,1[ où ff est convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes près de cc : cohérent avec un minimum.