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Niveau 1 — Convexité — 15 min

Tangentes et inégalités de convexité

Dans chaque question, on utilise la position d'une courbe par rapport à ses tangentes.

Montrer que la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=x+1$ . En déduire que, pour tout réel $x$ , $e^x\geq x+1$ .
Montrer que la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=x-1$ . En déduire que, pour tout $x>0$ , $\ln x\leq x-1$ .
Pour $f(x)=x^2$ , déterminer la tangente en $1$ et en déduire que $x^2\geq2x-1$ pour tout réel $x$ . Retrouver ce résultat par un calcul direct.
Pour $f(x)=\sqrt{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ , déterminer la tangente en $1$ et en déduire que $\sqrt{x}\leq\dfrac{x+1}{2}$ .
Pour $f(x)=\dfrac1x$ sur $]0\,;\,+\infty[$ , déterminer la tangente en $1$ et en déduire que $\dfrac1x\geq2-x$ . Vérifier par un calcul direct.

Niveau 1 — Convexité — 15 min

Corrigé — Tangentes et inégalités de convexité

Pour $f(x)=e^x$ : $f(0)=1$ et $f'(0)=e^0=1$ . La tangente en $0$ est $y=1\times(x-0)+1=x+1$ .

Comme $f''(x)=e^x>0$ , $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ : sa courbe est au-dessus de ses tangentes. Donc $e^x\geq x+1$ pour tout réel $x$ .
Pour $f(x)=\ln x$ : $f(1)=0$ et $f'(1)=1$ . La tangente est $y=x-1$ .

$f''(x)=-\dfrac1{x^2}<0$ : $f$ est concave sur $]0\,;\,+\infty[$ , sa courbe est sous ses tangentes. Donc $\ln x\leq x-1$ pour tout $x>0$ .
$f(1)=1$ , $f'(1)=2$ : la tangente est $y=2(x-1)+1=2x-1$ .

$f''=2>0$ : $f$ est convexe, donc $x^2\geq2x-1$ sur $\mathbb{R}$ .

Calcul direct : $x^2-(2x-1)=(x-1)^2\geq0$ .
$f(1)=1$ et $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$ , donc $f'(1)=\dfrac12$ . La tangente est $y=\dfrac12(x-1)+1=\dfrac{x+1}{2}$ .

$f''(x)=-\dfrac{1}{4x\sqrt x}<0$ : $f$ est concave sur $]0\,;\,+\infty[$ , donc sa courbe est sous sa tangente : $\sqrt x\leq\dfrac{x+1}{2}$ .
$f(1)=1$ , $f'(x)=-\dfrac1{x^2}$ donc $f'(1)=-1$ . La tangente est $y=-(x-1)+1=2-x$ .

$f''(x)=\dfrac{2}{x^3}>0$ sur $]0\,;\,+\infty[$ : $f$ est convexe, donc $\dfrac1x\geq2-x$ .

Calcul direct : $\dfrac1x-(2-x)=\dfrac{1-2x+x^2}{x}=\dfrac{(x-1)^2}{x}\geq0$ .